Упр.1099 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Проверить точки и найти sin, cos, tg угловС пояснением
1) Для единичной полуокружности с центром O(0; 0) выполняются условия x² + y² = 1 и y ≥ 0.M₁: 0² + 1² = 1;
M₂: (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1;
M₃: (√2/2)² + (√2/2)² = 1/2 + 1/2 = 1;
M₄: (−√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1;
B: (−1)² + 0² = 1.
У всех точек y ≥ 0, значит, они лежат на данной полуокружности.2) На единичной полуокружности для точки M(x; y): cos ∠AOM = x, sin ∠AOM = y, tg ∠AOM = y/x при x ≠ 0.∠AOM₁ = 90°: sin = 1, cos = 0, tg не существует.
∠AOM₂ = 60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tg = √3.
∠AOM₃ = 45°: sin = √2/2, cos = √2/2, tg = 1.
∠AOM₄ = 150°: sin = 1/2, cos = −√3/2, tg = −√3/3.
∠AOB = 180°: sin = 0, cos = −1, tg = 0.Ответ: все точки лежат на полуокружности; значения sin, cos и tg указаны выше.
Кратко Все точки удовлетворяют условиям x² + y² = 1 и y ≥ 0, поэтому лежат на данной полуокружности.∠AOM₁: sin = 1, cos = 0, tg не существует;
∠AOM₂: sin = √3/2, cos = 1/2, tg = √3;
∠AOM₃: sin = √2/2, cos = √2/2, tg = 1;
∠AOM₄: sin = 1/2, cos = −√3/2, tg = −√3/3;
∠AOB: sin = 0, cos = −1, tg = 0.Ответ: все данные точки лежат на полуокружности; значения sin, cos и tg приведены выше.
M₂: (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1;
M₃: (√2/2)² + (√2/2)² = 1/2 + 1/2 = 1;
M₄: (−√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1;
B: (−1)² + 0² = 1.
У всех точек y ≥ 0, значит, они лежат на данной полуокружности.2) На единичной полуокружности для точки M(x; y): cos ∠AOM = x, sin ∠AOM = y, tg ∠AOM = y/x при x ≠ 0.∠AOM₁ = 90°: sin = 1, cos = 0, tg не существует.
∠AOM₂ = 60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tg = √3.
∠AOM₃ = 45°: sin = √2/2, cos = √2/2, tg = 1.
∠AOM₄ = 150°: sin = 1/2, cos = −√3/2, tg = −√3/3.
∠AOB = 180°: sin = 0, cos = −1, tg = 0.Ответ: все точки лежат на полуокружности; значения sin, cos и tg указаны выше.
Кратко Все точки удовлетворяют условиям x² + y² = 1 и y ≥ 0, поэтому лежат на данной полуокружности.∠AOM₁: sin = 1, cos = 0, tg не существует;
∠AOM₂: sin = √3/2, cos = 1/2, tg = √3;
∠AOM₃: sin = √2/2, cos = √2/2, tg = 1;
∠AOM₄: sin = 1/2, cos = −√3/2, tg = −√3/3;
∠AOB: sin = 0, cos = −1, tg = 0.Ответ: все данные точки лежат на полуокружности; значения sin, cos и tg приведены выше.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что четырёхугольник — прямоугольник, найти площадьС пояснением
1) В правильном восьмиугольнике вершины A3 и A7, а также A4 и A8 противоположны. Поэтому отрезки A3A7 и A4A8 — диаметры окружности.2) Диагонали четырёхугольника A3A4A7A8 равны и делятся точкой O пополам:
A3A7 = A4A8 = 2R.
Следовательно, этот четырёхугольник — прямоугольник.3) Центральный угол правильного восьмиугольника равен
360° : 8 = 45°.
Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника. У каждого из них две стороны равны R, а синус угла между ними равен sin 45° = √2/2 (для угла 135° синус такой же).4) Поэтому площадь прямоугольника равна
S = 4 · 1/2 · R² · √2/2 = R²√2.Ответ: A3A4A7A8 — прямоугольник; S = R²√2.
Кратко A3A7 и A4A8 — равные диаметры окружности, которые точкой O делятся пополам. Поэтому A3A4A7A8 — прямоугольник.Центральный угол равен 360° : 8 = 45°. Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника, поэтому
S = 4 · 1/2 · R² · sin 45° = R²√2.Ответ: A3A4A7A8 — прямоугольник; S = R²√2.
A3A7 = A4A8 = 2R.
Следовательно, этот четырёхугольник — прямоугольник.3) Центральный угол правильного восьмиугольника равен
360° : 8 = 45°.
Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника. У каждого из них две стороны равны R, а синус угла между ними равен sin 45° = √2/2 (для угла 135° синус такой же).4) Поэтому площадь прямоугольника равна
S = 4 · 1/2 · R² · √2/2 = R²√2.Ответ: A3A4A7A8 — прямоугольник; S = R²√2.
Кратко A3A7 и A4A8 — равные диаметры окружности, которые точкой O делятся пополам. Поэтому A3A4A7A8 — прямоугольник.Центральный угол равен 360° : 8 = 45°. Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника, поэтому
S = 4 · 1/2 · R² · sin 45° = R²√2.Ответ: A3A4A7A8 — прямоугольник; S = R²√2.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Проверьте, что точки M1 (0;1), М2 (1/2;корень3/2) M3 (корень2/2;корень2/2), M4 (корень2/2;1/2), В(-1;0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов AOM1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ.
Задание учебника 2023 года
Правильный восьмиугольник A1A2...A8 вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник А3А4А7А8 является прямоугольником, и выразите его площадь через R
