Упр.1105 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти координаты точки AС пояснением
Координаты точки A определяются по формулам: x = OA · cos α, y = OA · sin α.1) При OA = 3, α = 45°:
x = 3 · √2/2 = 3√2/2,
y = 3 · √2/2 = 3√2/2.2) При OA = 1,5, α = 90°:
x = 1,5 · 0 = 0,
y = 1,5 · 1 = 1,5.3) При OA = 5, α = 150°:
x = 5 · (−√3/2) = −5√3/2,
y = 5 · 1/2 = 5/2.4) При OA = 1, α = 180°:
x = 1 · (−1) = −1,
y = 1 · 0 = 0.5) При OA = 2, α = 30°:
x = 2 · √3/2 = √3,
y = 2 · 1/2 = 1.Ответ: а) A(3√2/2; 3√2/2); б) A(0; 1,5); в) A(−5√3/2; 5/2); г) A(−1; 0); д) A(√3; 1).
Кратко Используем формулы x = OA · cos α, y = OA · sin α.а) A(3√2/2; 3√2/2);
б) A(0; 1,5);
в) A(−5√3/2; 5/2);
г) A(−1; 0);
д) A(√3; 1).Ответ: а) (3√2/2; 3√2/2); б) (0; 1,5); в) (−5√3/2; 5/2); г) (−1; 0); д) (√3; 1).
x = 3 · √2/2 = 3√2/2,
y = 3 · √2/2 = 3√2/2.2) При OA = 1,5, α = 90°:
x = 1,5 · 0 = 0,
y = 1,5 · 1 = 1,5.3) При OA = 5, α = 150°:
x = 5 · (−√3/2) = −5√3/2,
y = 5 · 1/2 = 5/2.4) При OA = 1, α = 180°:
x = 1 · (−1) = −1,
y = 1 · 0 = 0.5) При OA = 2, α = 30°:
x = 2 · √3/2 = √3,
y = 2 · 1/2 = 1.Ответ: а) A(3√2/2; 3√2/2); б) A(0; 1,5); в) A(−5√3/2; 5/2); г) A(−1; 0); д) A(√3; 1).
Кратко Используем формулы x = OA · cos α, y = OA · sin α.а) A(3√2/2; 3√2/2);
б) A(0; 1,5);
в) A(−5√3/2; 5/2);
г) A(−1; 0);
д) A(√3; 1).Ответ: а) (3√2/2; 3√2/2); б) (0; 1,5); в) (−5√3/2; 5/2); г) (−1; 0); д) (√3; 1).
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Найти длину вписанной окружности
Найти длину вписанной окружностиС пояснением
1) d = a — диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата.
2) C = πd = πa — длина окружности.
Ответ: πa.
Кратко Диаметр окружности равен стороне квадрата: d = a.
C = πd = πa.
Ответ: πa.
2) C = πd = πa — длина окружности.
Ответ: πa.
Кратко Диаметр окружности равен стороне квадрата: d = a.
C = πd = πa.
Ответ: πa.
Разбор 2 Найти длину вписанной окружности
Найти длину вписанной окружностиС пояснением
1) c : √2 = c√2/2 — длина каждого катета.
2) r = (c√2/2 + c√2/2 − c) : 2 = c(√2 − 1)/2 — радиус вписанной окружности.
3) l = 2πr = 2π · c(√2 − 1)/2 = πc(√2 − 1) — длина окружности.
Ответ: πc(√2 − 1).
Кратко Катеты равны c√2/2. Тогда радиус вписанной окружности:
r = (c√2/2 + c√2/2 − c) : 2 = c(√2 − 1)/2.
Длина окружности:
l = 2πr = πc(√2 − 1).
Ответ: πc(√2 − 1).
2) r = (c√2/2 + c√2/2 − c) : 2 = c(√2 − 1)/2 — радиус вписанной окружности.
3) l = 2πr = 2π · c(√2 − 1)/2 = πc(√2 − 1) — длина окружности.
Ответ: πc(√2 − 1).
Кратко Катеты равны c√2/2. Тогда радиус вписанной окружности:
r = (c√2/2 + c√2/2 − c) : 2 = c(√2 − 1)/2.
Длина окружности:
l = 2πr = πc(√2 − 1).
Ответ: πc(√2 − 1).
Разбор 3 Найти длину вписанной окружности
Найти длину вписанной окружностиС пояснением
1) c sin α и c cos α — катеты прямоугольного треугольника.
2) r = (c sin α + c cos α − c) / 2 = c(sin α + cos α − 1) / 2 — радиус вписанной окружности.
3) l = 2πr = πc(sin α + cos α − 1) — длина окружности.
Ответ: πc(sin α + cos α − 1).
Кратко r = (c sin α + c cos α − c) / 2;
l = 2πr = πc(sin α + cos α − 1).
Ответ: πc(sin α + cos α − 1).
2) r = (c sin α + c cos α − c) / 2 = c(sin α + cos α − 1) / 2 — радиус вписанной окружности.
3) l = 2πr = πc(sin α + cos α − 1) — длина окружности.
Ответ: πc(sin α + cos α − 1).
Кратко r = (c sin α + c cos α − c) / 2;
l = 2πr = πc(sin α + cos α − 1).
Ответ: πc(sin α + cos α − 1).
Разбор 4 Найти длину вписанной окружности
Найти длину вписанной окружностиС пояснением
Обозначим основание треугольника через 2x, боковую сторону через l, радиус вписанной окружности через r.1) В прямоугольном треугольнике, полученном после проведения высоты:
x = h ctg α,
l = h/sin α.2) Площадь равнобедренного треугольника:
S = 2x · h : 2 = xh.3) Полупериметр треугольника:
p = l + x.4) Радиус вписанной окружности:
r = S/p = xh/(l + x) = h cos α/(1 + cos α).5) Длина окружности:
C = 2πr = 2πh cos α/(1 + cos α).Ответ: 2πh cos α/(1 + cos α).
Кратко 1) r = h cos α/(1 + cos α) — радиус вписанной окружности.
2) C = 2πr = 2πh cos α/(1 + cos α).
Ответ: 2πh cos α/(1 + cos α).
x = h ctg α,
l = h/sin α.2) Площадь равнобедренного треугольника:
S = 2x · h : 2 = xh.3) Полупериметр треугольника:
p = l + x.4) Радиус вписанной окружности:
r = S/p = xh/(l + x) = h cos α/(1 + cos α).5) Длина окружности:
C = 2πr = 2πh cos α/(1 + cos α).Ответ: 2πh cos α/(1 + cos α).
Кратко 1) r = h cos α/(1 + cos α) — радиус вписанной окружности.
2) C = 2πr = 2πh cos α/(1 + cos α).
Ответ: 2πh cos α/(1 + cos α).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен а. Найдите координаты точки А, если: а) ОА = 3, a = 45°; б) ОА = 1,5, a = 90°; в) ОА = 5, a =150°; г) ОА = 1, а= 180°; д) ОА = 2, а = 30°.
Задание учебника 2023 года
Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной а; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с; в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а; г) в равнобедренный треугольник с углом при основании а и высотой h, проведённой к основанию.
