Упр.1096 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать формулу медианы и признак равнобедренного треугольникаС пояснением
Обозначим BC = a, AC = b, AB = c, AA₁ = mₐ. Так как AA₁ — медиана, BA₁ = CA₁ = a/2.1) Пусть ∠AA₁B = α. Тогда ∠AA₁C = 180° − α. По теореме косинусов для треугольников ABA₁ и ACA₁:
c² = mₐ² + a²/4 − amₐ cos α,
b² = mₐ² + a²/4 − amₐ cos(180° − α) = mₐ² + a²/4 + amₐ cos α.2) Сложим равенства:
b² + c² = 2mₐ² + a²/2.
Отсюда
4mₐ² = 2b² + 2c² − a²,
mₐ = 1/2√(2b² + 2c² − a²).
Следовательно,
AA₁ = 1/2√(2AC² + 2AB² − BC²).3) Пусть медианы AA₁ и BB₁ равны. По доказанной формуле:
4AA₁² = 2AC² + 2AB² − BC²,
4BB₁² = 2BC² + 2AB² − AC².
Так как AA₁ = BB₁, правые части равны:
2AC² − BC² = 2BC² − AC²,
3AC² = 3BC²,
AC = BC.
Значит, треугольник ABC равнобедренный.Ответ: AA₁ = 1/2√(2AC² + 2AB² − BC²); равенство двух медиан влечёт равенство соответствующих сторон, поэтому треугольник равнобедренный.
Кратко Пусть BC = a, AC = b, AB = c, AA₁ = mₐ. По теореме косинусов для треугольников ABA₁ и ACA₁:
c² = mₐ² + a²/4 − amₐ cos α,
b² = mₐ² + a²/4 + amₐ cos α.
Сложив равенства, получим:
4mₐ² = 2b² + 2c² − a²,
поэтому
AA₁ = 1/2√(2AC² + 2AB² − BC²).Если AA₁ = BB₁, то по этой формуле:
2AC² + 2AB² − BC² = 2BC² + 2AB² − AC².
Отсюда 3AC² = 3BC², значит, AC = BC.Ответ: формула доказана; если две медианы равны, то соответствующие стороны равны и треугольник равнобедренный.
c² = mₐ² + a²/4 − amₐ cos α,
b² = mₐ² + a²/4 − amₐ cos(180° − α) = mₐ² + a²/4 + amₐ cos α.2) Сложим равенства:
b² + c² = 2mₐ² + a²/2.
Отсюда
4mₐ² = 2b² + 2c² − a²,
mₐ = 1/2√(2b² + 2c² − a²).
Следовательно,
AA₁ = 1/2√(2AC² + 2AB² − BC²).3) Пусть медианы AA₁ и BB₁ равны. По доказанной формуле:
4AA₁² = 2AC² + 2AB² − BC²,
4BB₁² = 2BC² + 2AB² − AC².
Так как AA₁ = BB₁, правые части равны:
2AC² − BC² = 2BC² − AC²,
3AC² = 3BC²,
AC = BC.
Значит, треугольник ABC равнобедренный.Ответ: AA₁ = 1/2√(2AC² + 2AB² − BC²); равенство двух медиан влечёт равенство соответствующих сторон, поэтому треугольник равнобедренный.
Кратко Пусть BC = a, AC = b, AB = c, AA₁ = mₐ. По теореме косинусов для треугольников ABA₁ и ACA₁:
c² = mₐ² + a²/4 − amₐ cos α,
b² = mₐ² + a²/4 + amₐ cos α.
Сложив равенства, получим:
4mₐ² = 2b² + 2c² − a²,
поэтому
AA₁ = 1/2√(2AC² + 2AB² − BC²).Если AA₁ = BB₁, то по этой формуле:
2AC² + 2AB² − BC² = 2BC² + 2AB² − AC².
Отсюда 3AC² = 3BC², значит, AC = BC.Ответ: формула доказана; если две медианы равны, то соответствующие стороны равны и треугольник равнобедренный.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти отношения площадей правильных многоугольниковС пояснением
Пусть общая длина стороны многоугольников равна a.1) Высота правильного треугольника равна a√3/2, поэтому его площадь:
S₁ = 1/2 · a · a√3/2 = a²√3/4.2) Площадь квадрата:
S₂ = a².3) Правильный шестиугольник состоит из 6 правильных треугольников со стороной a, поэтому:
S₃ = 6 · a²√3/4 = 3a²√3/2.4) Найдём отношение площадей и умножим его члены на 4/a²:
S₁ : S₂ : S₃ = a²√3/4 : a² : 3a²√3/2 = √3 : 4 : 6√3.Ответ: √3 : 4 : 6√3.
Кратко Пусть общая сторона равна a.Sтреуг. : Sквадр. : Sшестиуг. = a²√3/4 : a² : 3a²√3/2 = √3 : 4 : 6√3.Ответ: √3 : 4 : 6√3.
S₁ = 1/2 · a · a√3/2 = a²√3/4.2) Площадь квадрата:
S₂ = a².3) Правильный шестиугольник состоит из 6 правильных треугольников со стороной a, поэтому:
S₃ = 6 · a²√3/4 = 3a²√3/2.4) Найдём отношение площадей и умножим его члены на 4/a²:
S₁ : S₂ : S₃ = a²√3/4 : a² : 3a²√3/2 = √3 : 4 : 6√3.Ответ: √3 : 4 : 6√3.
Кратко Пусть общая сторона равна a.Sтреуг. : Sквадр. : Sшестиуг. = a²√3/4 : a² : 3a²√3/2 = √3 : 4 : 6√3.Ответ: √3 : 4 : 6√3.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что медиану АА1 треугольника ABC можно вычислить по формуле АА1 =1/2 корень(2АС2 + 2АВ2 - ВС2). Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Задание учебника 2023 года
Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.
