Упр.1123 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Найти производительность каждого автоматаС пояснением
Пусть x деталей в час изготовлял первый автомат, а y деталей в час — второй. По условию составим систему:
\(3x + 2y = 720\),
\((2x + 2y) : 4 = 150\).Из второго уравнения получаем \(x + y = 300\). Тогда система имеет вид:
Кратко Пусть x деталей в час изготовлял первый автомат, y — второй.
\(3x + 2y = 720\),
\((2x + 2y) : 4 = 150\).Отсюда \(x + y = 300\). Вычтем из первого уравнения удвоенное равенство \(x + y = 300\):
\(3x + 2y = 720\),
\((2x + 2y) : 4 = 150\).Из второго уравнения получаем \(x + y = 300\). Тогда система имеет вид:
\[\begin{cases}3x + 2y = 720,\\x + y = 300.\end{cases}\]
Умножим второе уравнение на 2 и вычтем его из первого:\[3x + 2y - (2x + 2y) = 720 - 600,\]
\[x = 120.\]
Тогда \(y = 300 − 120 = 180\).Ответ: первый автомат — 120 деталей в час, второй — 180 деталей в час.Кратко Пусть x деталей в час изготовлял первый автомат, y — второй.
\(3x + 2y = 720\),
\((2x + 2y) : 4 = 150\).Отсюда \(x + y = 300\). Вычтем из первого уравнения удвоенное равенство \(x + y = 300\):
\[x = 720 - 600 = 120,\]
\[y = 300 - 120 = 180.\]
Ответ: 120 деталей в час — первый автомат, 180 деталей в час — второй.За 2 часа оба автомата вместе изготовили:
\(150 \cdot 4 = 600\) деталей.По другому условию первый автомат работал 3 часа, а второй — 2 часа и вместе они изготовили 720 деталей. По сравнению с предыдущим случаем первый автомат работал на 1 час больше. Значит, за этот дополнительный час он изготовил:
\(720 − 600 = 120\) деталей.Следовательно, производительность первого автомата — 120 деталей в час. За 2 часа он изготовил:
\(120 \cdot 2 = 240\) деталей.Тогда второй автомат за 2 часа изготовил:
\(600 − 240 = 360\) деталей,
а за 1 час:
\(360 : 2 = 180\) деталей.Ответ: первый автомат изготовлял 120 деталей в час, второй — 180 деталей в час.
\(150 \cdot 4 = 600\) деталей.По другому условию первый автомат работал 3 часа, а второй — 2 часа и вместе они изготовили 720 деталей. По сравнению с предыдущим случаем первый автомат работал на 1 час больше. Значит, за этот дополнительный час он изготовил:
\(720 − 600 = 120\) деталей.Следовательно, производительность первого автомата — 120 деталей в час. За 2 часа он изготовил:
\(120 \cdot 2 = 240\) деталей.Тогда второй автомат за 2 часа изготовил:
\(600 − 240 = 360\) деталей,
а за 1 час:
\(360 : 2 = 180\) деталей.Ответ: первый автомат изготовлял 120 деталей в час, второй — 180 деталей в час.
Решение #4(Учебник 2019)
Решение #5(Учебник 2019)
Решение #6 (Учебник 2019)ИИ
Варианты решения:
На сколько уменьшить 100, чтобы остатки при делении на 5 и 7 были равны 1, а частные отличались на 2?С пояснением
Обозначим через x частное при делении полученной разности на 5, а через y — частное при делении на 7. Тогда разность можно записать двумя способами: \(5x + 1\) и \(7y + 1\).Составим систему:
5x + 1 = 7y + 1,
x − y = 2.Из второго уравнения x = y + 2. Подставим в первое:
Кратко Пусть x и y — частные при делении разности на 5 и 7 соответственно. Составим систему:
5x + 1 = 7y + 1,
x − y = 2.
5x + 1 = 7y + 1,
x − y = 2.Из второго уравнения x = y + 2. Подставим в первое:
\[5(y + 2) = 7y,\]
\[10 = 2y,\]
\[y = 5,\quad x = 7.\]
Полученная разность равна \(5 \cdot 7 + 1 = 36\). Значит, число 100 надо уменьшить на \(100 - 36 = 64\).Проверка: \(36 = 5 \cdot 7 + 1\) и \(36 = 7 \cdot 5 + 1\). Оба остатка равны 1, а разность частных равна \(7 - 5 = 2\).Ответ: на 64.Кратко Пусть x и y — частные при делении разности на 5 и 7 соответственно. Составим систему:
5x + 1 = 7y + 1,
x − y = 2.
\[x = y + 2;\]
\[5(y + 2) = 7y;\]
\[y = 5,\quad x = 7.\]
Разность: \(5 \cdot 7 + 1 = 36\). Уменьшение: \(100 - 36 = 64\).Проверка: \(36 = 5 \cdot 7 + 1\) = 7 · 5 + 1; \(7 - 5 = 2\).Ответ: на 64.Обозначим через n полученную разность, а через k — натуральное число, для которого \(n-1=35k\). Такое обозначение удобно, потому что числа 5 и 7 взаимно просты, а n − 1 делится на каждое из них.Тогда
\[n=35k+1.\]
При делении n на 5 частное равно 7k, а при делении на 7 — 5k. По условию первое частное на 2 больше второго. Составим систему:\[\begin{cases}n=35k+1,\\7k-5k=2.\end{cases}\]
Из второго уравнения:\[2k=2,\]
\[k=1.\]
Тогда\[n=35\cdot 1+1=36.\]
Следовательно, число 100 надо уменьшить на\[100-36=64.\]
Проверка:\[36=5\cdot 7+1,\]
\[36=7\cdot 5+1.\]
Остатки равны 1, а первое частное больше второго на \(7-5=2\).Ответ: на 64.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Два автомата изготавливают детали. Число деталей, изготовленных первым автоматом за 3 ч и вторым за 2 ч, составляет 720 штук. Четвёртая часть деталей, изготовленных обоими автоматами за 2 ч, составила 150 штук. Сколько деталей изготовлял каждый автомат за час?
Пусть первый автомат за час изготавливает x деталей, а второй автомат за час изготавливает y деталей.
Тогда за 3 часа первый автомат изготавливает 3x деталей, а второй автомат за 2 часа изготавливает 2y деталей.
Известно, что за это время вместе они изготавливают 720 деталей.
Составим уравнение: 3x+2y=720.
Четвёртая часть деталей, изготовленных обоими автоматами за 2 часа составляет 150 штук, поэтому (2x+2y)/4=150.
Составим и решим систему уравнений.
Задание учебника 2019 года
(Задача-исследование.) На сколько надо уменьшить число 100, чтобы при делении полученной разности как на 5, так и на 7 остаток был равен 1 и при этом первое частное было на 2 больше второго?
1) Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи.
2) Составьте систему уравнений и решите её.
3) Проверьте правильность полученного ответа.
