Упр.4.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти числа для указанных открытых дугС пояснением
Дуги рассматриваем в положительном направлении — против часовой стрелки. Точкам A, M и C соответствуют числа 0, \(\frac{\pi}{4}\) и \(\pi\). При каждом полном обороте число увеличивается на \(2\pi\); концы дуг не включаются.а) Дуга AM: \(2\pi n\) < t < \(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\).
б) Дуга CM: \(\pi\) + \(2\pi n\) < t < \(\frac{9\pi}{4}\) + \(2\pi n\).
в) Дуга MA: \(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\) < t < \(2\pi\) + \(2\pi n\).
г) Дуга MC: \(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\) < t < \(\pi\) + \(2\pi n\).Ответ: указанные промежутки, где n ∈ ℤ.
Кратко а) \(2\pi n\) < t < \(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\);
б) \(\pi\) + \(2\pi n\) < t < \(\frac{9\pi}{4}\) + \(2\pi n\);
в) \(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\) < t < \(2\pi\) + \(2\pi n\);
г) \(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\) < t < \(\pi\) + \(2\pi n\).Ответ: указанные промежутки, n ∈ ℤ.
б) Дуга CM: \(\pi\) + \(2\pi n\) < t < \(\frac{9\pi}{4}\) + \(2\pi n\).
в) Дуга MA: \(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\) < t < \(2\pi\) + \(2\pi n\).
г) Дуга MC: \(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\) < t < \(\pi\) + \(2\pi n\).Ответ: указанные промежутки, где n ∈ ℤ.
Кратко а) \(2\pi n\) < t < \(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\);
б) \(\pi\) + \(2\pi n\) < t < \(\frac{9\pi}{4}\) + \(2\pi n\);
в) \(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\) < t < \(2\pi\) + \(2\pi n\);
г) \(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\) < t < \(\pi\) + \(2\pi n\).Ответ: указанные промежутки, n ∈ ℤ.
Координаты точки числовой окружности равны \((\cos t; \sin t)\). Для точки M выполняется \(\cos t = \sin t\), а её положение в первой четверти соответствует \(t = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n\).а) На дуге AM ордината положительна и абсцисса больше ординаты:
sin t > 0, cos t > sin t.
Решение системы:
\(2\pi n\) < t < \(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\).б) Дуга CM состоит из нижней полуокружности и части первой четверти от A до M. Поэтому
sin t < 0
или
sin t ≥ 0, cos t > sin t.
Объединяя полученные промежутки, имеем:
\(\pi\) + \(2\pi n\) < t < \(\frac{9\pi}{4}\) + \(2\pi n\).в) Для дуги MA выполняется хотя бы одно из неравенств
cos t < sin t или sin t < 0.
Отсюда:
\(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\) < t < \(2\pi\) + \(2\pi n\).г) На дуге MC ордината положительна, а абсцисса меньше ординаты:
sin t > 0, cos t < sin t.
Следовательно,
\(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\) < t < \(\pi\) + \(2\pi n\).Во всех формулах \(n \in \mathbb{Z}\).
sin t > 0, cos t > sin t.
Решение системы:
\(2\pi n\) < t < \(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\).б) Дуга CM состоит из нижней полуокружности и части первой четверти от A до M. Поэтому
sin t < 0
или
sin t ≥ 0, cos t > sin t.
Объединяя полученные промежутки, имеем:
\(\pi\) + \(2\pi n\) < t < \(\frac{9\pi}{4}\) + \(2\pi n\).в) Для дуги MA выполняется хотя бы одно из неравенств
cos t < sin t или sin t < 0.
Отсюда:
\(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\) < t < \(2\pi\) + \(2\pi n\).г) На дуге MC ордината положительна, а абсцисса меньше ординаты:
sin t > 0, cos t < sin t.
Следовательно,
\(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi n\) < t < \(\pi\) + \(2\pi n\).Во всех формулах \(n \in \mathbb{Z}\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Найдите все числа t, которым на числовой окружности (см. рис. 2) соответствуют точки, принадлежащие указанной открытой дуге (т. е. дуге без её концов):
a) AM; б) СМ; в) МА; г) MC.
(М — середина первой четверти.)
