Упр.778 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3(Учебник 2026)
Решение #4 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Найдите катеты прямоугольного треугольникаС пояснением
Пусть x и y — катеты треугольника, в сантиметрах. По теореме Пифагора и формуле площади:
Тогда \((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 1681 + 720 = 2401\). Так как катеты положительны, x + y = 49.
Следовательно, x и y — корни уравнения \(t^2 - 49t + 360 = 0\). Его корни: \(t = 9\) и \(t = 40\).
Ответ: 9 см и 40 см.
Кратко Пусть x и y — катеты, тогда \(x^2 + y^2 = 1681\), \(xy = 360\).
\((x + y)^2 = 1681 + 720 = 2401\), поэтому x + y = 49.
\(t^2 - 49t + 360 = 0\); \(t_1 = 9\), \(t_2 = 40\).
Ответ: 9 см и 40 см.
\[x^2 + y^2 = 41^2 = 1681,\]
\(\dfrac{xy}{2} = 180\), откуда xy = 360.Тогда \((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 1681 + 720 = 2401\). Так как катеты положительны, x + y = 49.
Следовательно, x и y — корни уравнения \(t^2 - 49t + 360 = 0\). Его корни: \(t = 9\) и \(t = 40\).
Ответ: 9 см и 40 см.
Кратко Пусть x и y — катеты, тогда \(x^2 + y^2 = 1681\), \(xy = 360\).
\((x + y)^2 = 1681 + 720 = 2401\), поэтому x + y = 49.
\(t^2 - 49t + 360 = 0\); \(t_1 = 9\), \(t_2 = 40\).
Ответ: 9 см и 40 см.
Проведём высоту h к гипотенузе. Она разделит гипотенузу на отрезки p и q.Из формулы площади:
\(\displaystyle \dfrac{41h}{2} = 180\),
поэтому \(h = \dfrac{360}{41}\).Для высоты, проведённой к гипотенузе, выполняются соотношения:
\(p + q = 41\),
\(\displaystyle pq = h^{2} = \left(\dfrac{360}{41}\right)^{2}\).Значит, p и q являются корнями уравнения
\(\displaystyle z^{2} - 41z + \left(\dfrac{360}{41}\right)^{2} = 0\).Дискриминант:
\(\displaystyle D = 41^{2} - 4\cdot\left(\dfrac{360}{41}\right)^{2} = \left(\dfrac{1519}{41}\right)^{2}\).Отсюда
\(\displaystyle p = \dfrac{41 + \frac{1519}{41}}{2} = \dfrac{1600}{41}\),
\(\displaystyle q = \dfrac{41 - \frac{1519}{41}}{2} = \dfrac{81}{41}\).По свойству прямоугольного треугольника квадрат каждого катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета:
\(a^{2} = 41p = 1600\),
\(b^{2} = 41q = 81\).Следовательно,
a = 40 см, b = 9 см.Ответ: 9 см и 40 см.
\(\displaystyle \dfrac{41h}{2} = 180\),
поэтому \(h = \dfrac{360}{41}\).Для высоты, проведённой к гипотенузе, выполняются соотношения:
\(p + q = 41\),
\(\displaystyle pq = h^{2} = \left(\dfrac{360}{41}\right)^{2}\).Значит, p и q являются корнями уравнения
\(\displaystyle z^{2} - 41z + \left(\dfrac{360}{41}\right)^{2} = 0\).Дискриминант:
\(\displaystyle D = 41^{2} - 4\cdot\left(\dfrac{360}{41}\right)^{2} = \left(\dfrac{1519}{41}\right)^{2}\).Отсюда
\(\displaystyle p = \dfrac{41 + \frac{1519}{41}}{2} = \dfrac{1600}{41}\),
\(\displaystyle q = \dfrac{41 - \frac{1519}{41}}{2} = \dfrac{81}{41}\).По свойству прямоугольного треугольника квадрат каждого катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета:
\(a^{2} = 41p = 1600\),
\(b^{2} = 41q = 81\).Следовательно,
a = 40 см, b = 9 см.Ответ: 9 см и 40 см.
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Решение #7(Учебник 2024)
Решение #8 (Учебник 2024)ИИ
Варианты решения:
Найти число способов выбрать солдат в нарядС пояснением
Кроме Иванова и Петрова есть 10 солдат.
а) Иванов и Петров идут, поэтому выбираем одного из 10: \(C_{10}^{1} = 10\) (способов).
б) Оба остаются, поэтому выбираем трёх из 10: \(C_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 / (1 \cdot 2 \cdot 3) = 120\) (способов).
в) Иванов идёт, Петров остаётся, поэтому выбираем ещё двух из 10: \(C_{10}^{2} = 10 \cdot 9 / (1 \cdot 2) = 45\) (способов).
Ответ: а) 10; б) 120; в) 45 способов.
Кратко а) \(C_{10}^{1} = 10\) (способов).
б) \(C_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 / (1 \cdot 2 \cdot 3) = 120\) (способов).
в) \(C_{10}^{2} = 10 \cdot 9 / (1 \cdot 2) = 45\) (способов).
Ответ: а) 10; б) 120; в) 45 способов.
а) Иванов и Петров идут, поэтому выбираем одного из 10: \(C_{10}^{1} = 10\) (способов).
б) Оба остаются, поэтому выбираем трёх из 10: \(C_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 / (1 \cdot 2 \cdot 3) = 120\) (способов).
в) Иванов идёт, Петров остаётся, поэтому выбираем ещё двух из 10: \(C_{10}^{2} = 10 \cdot 9 / (1 \cdot 2) = 45\) (способов).
Ответ: а) 10; б) 120; в) 45 способов.
Кратко а) \(C_{10}^{1} = 10\) (способов).
б) \(C_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 / (1 \cdot 2 \cdot 3) = 120\) (способов).
в) \(C_{10}^{2} = 10 \cdot 9 / (1 \cdot 2) = 45\) (способов).
Ответ: а) 10; б) 120; в) 45 способов.
Общее число нарядов из трёх человек:
\[12 \cdot 11 \cdot 10 : 6 = 220.\]
а) Вероятность того, что Иванов попадёт в наряд, равна \(3/12\). Если Иванов выбран, вероятность попадания Петрова на одно из двух оставшихся мест равна \(2/11\). Поэтому\[220 \cdot \frac{3}{12} \cdot \frac{2}{11} = 10.\]
б) Вероятность того, что Иванов останется, равна \(9/12\). При этом вероятность того, что останется и Петров, равна \(8/11\). Поэтому\[220 \cdot \frac{9}{12} \cdot \frac{8}{11} = 120.\]
в) Вероятность попадания Иванова равна \(3/12\). После его выбора вероятность того, что Петров не займёт ни одного из двух оставшихся мест, равна \(9/11\). Поэтому\[220 \cdot \frac{3}{12} \cdot \frac{9}{11} = 45.\]
Ответ: а) 10; б) 120; в) 45 способов.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь равна 180 см2. Найдите катеты этого треугольника.
Задание учебника 2024 года
Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд трёх человек. Сколькими способами это можно сделать, если:
а) Иванов и Петров должны пойти в наряд обязательно;
б) Иванов и Петров должны остаться;
в) Иванов должен пойти в наряд, а Петров — остаться?
