Упр.1001 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать неколлинеарность данных векторовС пояснением
Если x·a + y·b = 0, где a и b не коллинеарны, то x = 0 и y = 0. Иначе один из векторов выражался бы через другой и они были бы коллинеарны.а) Предположим, что a + b и a − b коллинеарны. Тогда a + b = k(a − b), откуда
(1 − k)a + (1 + k)b = 0.
Значит, 1 − k = 0 и 1 + k = 0, то есть одновременно k = 1 и k = −1. Это невозможно.б) Предположим, что 2a − b и a + b коллинеарны. Тогда
2a − b = k(a + b),
(2 − k)a + (−1 − k)b = 0.
Отсюда одновременно k = 2 и k = −1, что невозможно.в) Предположим, что a + b и a + 3b коллинеарны. Тогда
a + b = k(a + 3b),
(1 − k)a + (1 − 3k)b = 0.
Отсюда одновременно k = 1 и k = 1/3, что невозможно.Ответ: во всех трёх случаях данные векторы не коллинеарны.
Кратко Так как a и b не коллинеарны, из равенства x·a + y·b = 0 следует x = y = 0.а) a + b = k(a − b) дало бы k = 1 и k = −1 одновременно — невозможно.
б) 2a − b = k(a + b) дало бы k = 2 и k = −1 одновременно — невозможно.
в) a + b = k(a + 3b) дало бы k = 1 и k = 1/3 одновременно — невозможно.Ответ: все указанные пары векторов не коллинеарны.
(1 − k)a + (1 + k)b = 0.
Значит, 1 − k = 0 и 1 + k = 0, то есть одновременно k = 1 и k = −1. Это невозможно.б) Предположим, что 2a − b и a + b коллинеарны. Тогда
2a − b = k(a + b),
(2 − k)a + (−1 − k)b = 0.
Отсюда одновременно k = 2 и k = −1, что невозможно.в) Предположим, что a + b и a + 3b коллинеарны. Тогда
a + b = k(a + 3b),
(1 − k)a + (1 − 3k)b = 0.
Отсюда одновременно k = 1 и k = 1/3, что невозможно.Ответ: во всех трёх случаях данные векторы не коллинеарны.
Кратко Так как a и b не коллинеарны, из равенства x·a + y·b = 0 следует x = y = 0.а) a + b = k(a − b) дало бы k = 1 и k = −1 одновременно — невозможно.
б) 2a − b = k(a + b) дало бы k = 2 и k = −1 одновременно — невозможно.
в) a + b = k(a + 3b) дало бы k = 1 и k = 1/3 одновременно — невозможно.Ответ: все указанные пары векторов не коллинеарны.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Составить уравнение окружности через A и BС пояснением
Пусть центр окружности O(a; b). Так как он лежит на прямой y = x + 2, то b = a + 2.1) Точки A и B принадлежат окружности, поэтому OA = OB:
(a − 3)² + b² = (a + 1)² + (b − 2)².2) Раскроем скобки и упростим:
a² − 6a + 9 + b² = a² + 2a + 1 + b² − 4b + 4,
b = 2a − 1.3) Найдём координаты центра:
a + 2 = 2a − 1,
a = 3, b = 5.
Значит, O(3; 5).4) Найдём квадрат радиуса:
r² = OA² = (3 − 3)² + (5 − 0)² = 25.Уравнение окружности:
(x − 3)² + (y − 5)² = 25.Ответ: (x − 3)² + (y − 5)² = 25.
Кратко Пусть центр окружности O(a; a + 2). Из равенства OA = OB получаем:
(a − 3)² + (a + 2)² = (a + 1)² + a²,
a = 3.Следовательно, O(3; 5), r² = 25.Ответ: (x − 3)² + (y − 5)² = 25.
(a − 3)² + b² = (a + 1)² + (b − 2)².2) Раскроем скобки и упростим:
a² − 6a + 9 + b² = a² + 2a + 1 + b² − 4b + 4,
b = 2a − 1.3) Найдём координаты центра:
a + 2 = 2a − 1,
a = 3, b = 5.
Значит, O(3; 5).4) Найдём квадрат радиуса:
r² = OA² = (3 − 3)² + (5 − 0)² = 25.Уравнение окружности:
(x − 3)² + (y − 5)² = 25.Ответ: (x − 3)² + (y − 5)² = 25.
Кратко Пусть центр окружности O(a; a + 2). Из равенства OA = OB получаем:
(a − 3)² + (a + 2)² = (a + 1)² + a²,
a = 3.Следовательно, O(3; 5), r² = 25.Ответ: (x − 3)² + (y − 5)² = 25.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если векторы а и b не коллинеарны, то: а) векторы а + b и а-b не коллинеарны; б) векторы 2а -b и а + b не коллинеарны; в) векторы а + b и а + 3b не коллинеарны.
Задание учебника 2023 года
Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (3; 0) и B (-1; 2), если центр её лежит на прямой у = х + 2.
