Упр.927 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить пять вариантов расположения окружностейС пояснением
1) Отметим на прямой точки A и B так, чтобы AB = 6 см. Обозначим радиусы окружностей через R и r.
2) Построим окружности со следующими радиусами:
а) R = 8 см, r = 1 см. Так как R − r = 7 см > AB, малая окружность лежит внутри большой и не имеет с ней общих точек.
б) R = 2 см, r = 2 см. Так как R + r = 4 см < AB, окружности лежат одна вне другой и не имеют общих точек.
в) R = 4 см, r = 4 см. Так как R − r < AB < R + r, окружности пересекаются в двух точках.
г) R = 3 см, r = 3 см. Так как R + r = AB, окружности касаются внешним образом.
д) R = 8 см, r = 2 см. Так как R − r = AB, окружности касаются внутренним образом.
Ответ: нужно построить окружности с указанными радиусами при AB = 6 см.
Кратко Пусть AB = 6 см. Постройте окружности с центрами A и B и радиусами:
а) 8 см и 1 см;
б) 2 см и 2 см;
в) 4 см и 4 см;
г) 3 см и 3 см;
д) 8 см и 2 см.
Ответ: получатся соответственно внутреннее расположение без общих точек, внешнее расположение без общих точек, пересечение в двух точках, внешнее и внутреннее касания.
2) Построим окружности со следующими радиусами:
а) R = 8 см, r = 1 см. Так как R − r = 7 см > AB, малая окружность лежит внутри большой и не имеет с ней общих точек.
б) R = 2 см, r = 2 см. Так как R + r = 4 см < AB, окружности лежат одна вне другой и не имеют общих точек.
в) R = 4 см, r = 4 см. Так как R − r < AB < R + r, окружности пересекаются в двух точках.
г) R = 3 см, r = 3 см. Так как R + r = AB, окружности касаются внешним образом.
д) R = 8 см, r = 2 см. Так как R − r = AB, окружности касаются внутренним образом.
Ответ: нужно построить окружности с указанными радиусами при AB = 6 см.
Кратко Пусть AB = 6 см. Постройте окружности с центрами A и B и радиусами:
а) 8 см и 1 см;
б) 2 см и 2 см;
в) 4 см и 4 см;
г) 3 см и 3 см;
д) 8 см и 2 см.
Ответ: получатся соответственно внутреннее расположение без общих точек, внешнее расположение без общих точек, пересечение в двух точках, внешнее и внутреннее касания.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать признак коллинеарности векторов по координатамС пояснением
Пусть ненулевые векторы a⃗ = (x₁; y₁) и b⃗ = (x₂; y₂) коллинеарны.1) По определению коллинеарных векторов существует такое число k, что a⃗ = kb⃗.2) При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число, поэтому
x₁ = kx₂, y₁ = ky₂.
Значит, соответствующие координаты векторов пропорциональны.Обратное утверждение: если соответствующие координаты двух ненулевых векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.3) Пусть x₁ = kx₂ и y₁ = ky₂ для некоторого числа k. Тогда
(x₁; y₁) = (kx₂; ky₂),
то есть a⃗ = kb⃗.4) Следовательно, по определению векторы a⃗ и b⃗ коллинеарны.Если один из векторов нулевой, он также считается коллинеарным любому вектору.Ответ: два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.
Кратко Пусть a⃗ = (x₁; y₁), b⃗ = (x₂; y₂).Если a⃗ и b⃗ коллинеарны, то a⃗ = kb⃗ для некоторого числа k. Поэтому x₁ = kx₂ и y₁ = ky₂, то есть координаты пропорциональны.Обратно: если x₁ = kx₂ и y₁ = ky₂, то a⃗ = kb⃗. Следовательно, векторы коллинеарны.Ответ: два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.
x₁ = kx₂, y₁ = ky₂.
Значит, соответствующие координаты векторов пропорциональны.Обратное утверждение: если соответствующие координаты двух ненулевых векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.3) Пусть x₁ = kx₂ и y₁ = ky₂ для некоторого числа k. Тогда
(x₁; y₁) = (kx₂; ky₂),
то есть a⃗ = kb⃗.4) Следовательно, по определению векторы a⃗ и b⃗ коллинеарны.Если один из векторов нулевой, он также считается коллинеарным любому вектору.Ответ: два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.
Кратко Пусть a⃗ = (x₁; y₁), b⃗ = (x₂; y₂).Если a⃗ и b⃗ коллинеарны, то a⃗ = kb⃗ для некоторого числа k. Поэтому x₁ = kx₂ и y₁ = ky₂, то есть координаты пропорциональны.Обратно: если x₁ = kx₂ и y₁ = ky₂, то a⃗ = kb⃗. Следовательно, векторы коллинеарны.Ответ: два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы, изображающие полёт самолёта сначала на 300 км на юг от города А до В, а потом на 500 км на восток от города В до С. Затем начертите вектор АС, который изображает перемещение из начальной точки в конечную.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
