Упр.553 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить окружность с двумя заданными касаниямиС пояснением
Обозначим центр данной окружности через O, её радиус через r.1) Проведём через A перпендикуляр n к прямой m. Центр X искомой окружности обязательно лежит на n, потому что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.2) Опустим из O перпендикуляр OH на n. Выберем на n направление и будем считать отрезки в этом направлении положительными. Обозначим AH = y, AO = d, AX = x. Радиус искомой окружности равен |x|.3) Для каждой из двух полупрямых n рассматриваем два вида касания.
При внешнем касании строим отрезок x из равенства
x = (d² − r²) : (2(y + εr)).
При внутреннем касании строим отрезок x из равенства
x = (d² − r²) : (2(y − εr)).
Здесь ε = 1 для выбранной положительной полупрямой и ε = −1 для противоположной. Разность квадратов удобно строить как (d − r)(d + r), а деление и умножение отрезков выполняются построением пропорциональных отрезков с помощью подобных треугольников.4) На соответствующей полупрямой откладываем найденную положительную длину |x| и получаем точку X. Проводим окружность с центром X и радиусом XA.5) Проверяем построение: при внешнем касании должно выполняться OX = OA? Нет, проверяем OX = XA + r; при внутреннем — OX = |XA − r|. Точки, для которых равенство не выполняется, отбрасываем.Особый случай: если данная окружность касается m в точке A, решений бесконечно много — можно брать подходящие центры на перпендикуляре n. Если A лежит на данной окружности, но m не является касательной в A, решения нет.Ответ: центры искомых окружностей — подходящие построенные точки X на перпендикуляре к m в точке A; радиусы равны XA.
Кратко Пусть O — центр, r — радиус данной окружности.1) Через A проведём перпендикуляр n к m: на нём должен находиться центр X искомой окружности.
2) Для каждой полупрямой n построим возможные положения X из условий:
OX = XA + r — внешнее касание;
OX = |XA − r| — внутреннее касание.
Для построения используем проекцию O на n и подобные треугольники.
3) С центром в каждой подходящей точке X проведём окружность радиуса XA.Ответ: искомые окружности имеют центры X на перпендикуляре к m в точке A и радиусы XA.
При внешнем касании строим отрезок x из равенства
x = (d² − r²) : (2(y + εr)).
При внутреннем касании строим отрезок x из равенства
x = (d² − r²) : (2(y − εr)).
Здесь ε = 1 для выбранной положительной полупрямой и ε = −1 для противоположной. Разность квадратов удобно строить как (d − r)(d + r), а деление и умножение отрезков выполняются построением пропорциональных отрезков с помощью подобных треугольников.4) На соответствующей полупрямой откладываем найденную положительную длину |x| и получаем точку X. Проводим окружность с центром X и радиусом XA.5) Проверяем построение: при внешнем касании должно выполняться OX = OA? Нет, проверяем OX = XA + r; при внутреннем — OX = |XA − r|. Точки, для которых равенство не выполняется, отбрасываем.Особый случай: если данная окружность касается m в точке A, решений бесконечно много — можно брать подходящие центры на перпендикуляре n. Если A лежит на данной окружности, но m не является касательной в A, решения нет.Ответ: центры искомых окружностей — подходящие построенные точки X на перпендикуляре к m в точке A; радиусы равны XA.
Кратко Пусть O — центр, r — радиус данной окружности.1) Через A проведём перпендикуляр n к m: на нём должен находиться центр X искомой окружности.
2) Для каждой полупрямой n построим возможные положения X из условий:
OX = XA + r — внешнее касание;
OX = |XA − r| — внутреннее касание.
Для построения используем проекцию O на n и подобные треугольники.
3) С центром в каждой подходящей точке X проведём окружность радиуса XA.Ответ: искомые окружности имеют центры X на перпендикуляре к m в точке A и радиусы XA.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Определить, подобны ли равнобедренные треугольники
Определить, подобны ли равнобедренные треугольникиС пояснением
1) Рассмотрим равнобедренный треугольник с углом при вершине 40°. Его углы при основании равны: (180° − 40°) : 2 = 70°.
2) Рассмотрим другой равнобедренный треугольник с углами при основании по 40°. Его третий угол равен: 180° − 40° · 2 = 100°.
3) Оба треугольника имеют равный острый угол 40°, но наборы их углов различны: 40°, 70°, 70° и 40°, 40°, 100°. Поэтому эти треугольники не подобны.
Ответ: нет, не обязательно подобны.
Кратко Например, углы первого треугольника равны 40°, 70°, 70°, а второго — 40°, 40°, 100°. Оба треугольника равнобедренные и имеют общий по величине острый угол 40°, но их остальные углы не равны.
Ответ: нет, не обязательно подобны.
2) Рассмотрим другой равнобедренный треугольник с углами при основании по 40°. Его третий угол равен: 180° − 40° · 2 = 100°.
3) Оба треугольника имеют равный острый угол 40°, но наборы их углов различны: 40°, 70°, 70° и 40°, 40°, 100°. Поэтому эти треугольники не подобны.
Ответ: нет, не обязательно подобны.
Кратко Например, углы первого треугольника равны 40°, 70°, 70°, а второго — 40°, 40°, 100°. Оба треугольника равнобедренные и имеют общий по величине острый угол 40°, но их остальные углы не равны.
Ответ: нет, не обязательно подобны.
Разбор 2 Подобие равнобедренных треугольников с равными тупыми углами
Подобие равнобедренных треугольников с равными тупыми угламиС пояснением
1) В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине, так как углы при основании равны.
2) По условию вершины углы двух треугольников равны.
3) Углы при основании каждого треугольника равны половине разности 180° и вершины угла. Поэтому углы при основаниях двух треугольников также соответственно равны.
4) Значит, треугольники подобны по двум углам.
Ответ: да, треугольники подобны.
Кратко Тупой угол в каждом треугольнике является углом при вершине. Если эти углы равны, то равны и углы при основаниях. Следовательно, треугольники подобны по двум углам.
Ответ: да, подобны.
2) По условию вершины углы двух треугольников равны.
3) Углы при основании каждого треугольника равны половине разности 180° и вершины угла. Поэтому углы при основаниях двух треугольников также соответственно равны.
4) Значит, треугольники подобны по двум углам.
Ответ: да, треугольники подобны.
Кратко Тупой угол в каждом треугольнике является углом при вершине. Если эти углы равны, то равны и углы при основаниях. Следовательно, треугольники подобны по двум углам.
Ответ: да, подобны.
Разбор 3 Подобие равнобедренных прямоугольных треугольников
Подобие равнобедренных прямоугольных треугольниковС пояснением
1) В равнобедренном прямоугольном треугольнике два острых угла равны.
2) Их сумма равна 90°, поэтому каждый из них равен 45°.
3) Значит, у любых таких треугольников углы равны: 45°, 45° и 90°. Следовательно, треугольники подобны по двум углам.
Ответ: да, подобны.
Кратко У каждого равнобедренного прямоугольного треугольника углы равны 45°, 45° и 90°, поэтому такие треугольники подобны по двум углам.
Ответ: да, подобны.
2) Их сумма равна 90°, поэтому каждый из них равен 45°.
3) Значит, у любых таких треугольников углы равны: 45°, 45° и 90°. Следовательно, треугольники подобны по двум углам.
Ответ: да, подобны.
Кратко У каждого равнобедренного прямоугольного треугольника углы равны 45°, 45° и 90°, поэтому такие треугольники подобны по двум углам.
Ответ: да, подобны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со смежными сторонами 8 м и 18 м.
Задание учебника 2023 года
Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углу? Ответ обоснуйте.
