Упр.453 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что AB = O₁O₂С пояснением
1) Радиусы O₁A и O₂B проведены в точки касания, поэтому O₁A ⟂ m и O₂B ⟂ m.
2) Значит, O₁A ∥ O₂B. При этом O₁A = O₂B, так как окружности равны, а их радиусы лежат по одну сторону от прямой m.
3) Четырёхугольник AO₁O₂B — прямоугольник: его стороны O₁A и O₂B равны и параллельны, а углы при A и B прямые.
4) У прямоугольника противоположные стороны равны, следовательно, AB = O₁O₂.Ответ: AB = O₁O₂.
Кратко O₁A и O₂B — радиусы, проведённые в точки касания, поэтому они перпендикулярны m. Кроме того, O₁A = O₂B. Значит, AO₁O₂B — прямоугольник, а его противоположные стороны равны.Ответ: AB = O₁O₂.
2) Значит, O₁A ∥ O₂B. При этом O₁A = O₂B, так как окружности равны, а их радиусы лежат по одну сторону от прямой m.
3) Четырёхугольник AO₁O₂B — прямоугольник: его стороны O₁A и O₂B равны и параллельны, а углы при A и B прямые.
4) У прямоугольника противоположные стороны равны, следовательно, AB = O₁O₂.Ответ: AB = O₁O₂.
Кратко O₁A и O₂B — радиусы, проведённые в точки касания, поэтому они перпендикулярны m. Кроме того, O₁A = O₂B. Значит, AO₁O₂B — прямоугольник, а его противоположные стороны равны.Ответ: AB = O₁O₂.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Определить изменение площади прямоугольникаС пояснением
Пусть стороны прямоугольника равны a и b, тогда его площадь S = ab.а) S₁ = 2a · b = 2ab = 2S — площадь увеличится в 2 раза.б) S₂ = 2a · 2b = 4ab = 4S — площадь увеличится в 4 раза.в) S₃ = 2a · b/2 = ab = S — площадь не изменится.Ответ: а) увеличится в 2 раза; б) увеличится в 4 раза; в) не изменится.
Кратко а) 2a · b = 2ab — площадь увеличится в 2 раза.
б) 2a · 2b = 4ab — площадь увеличится в 4 раза.
в) 2a · b/2 = ab — площадь не изменится.
Ответ: а) в 2 раза; б) в 4 раза; в) не изменится.
Кратко а) 2a · b = 2ab — площадь увеличится в 2 раза.
б) 2a · 2b = 4ab — площадь увеличится в 4 раза.
в) 2a · b/2 = ab — площадь не изменится.
Ответ: а) в 2 раза; б) в 4 раза; в) не изменится.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Даны две равные окружности с центрами O_1 и O_2, имеющие одну общую точку (такие окружности называются касающимися). Прямая m является касательной к каждой из них в точках А и В соответственно. Докажите, что отрезок АВ равен отрезку O_1O_2.
Дано:
O_1 A=O_2 B;
m-касатель;
M-общ.точка;
E=AO_2nBO_1;
Доказать:
AB=O_1 O_2;
Решение:
1) Для заданных окружностей:
O_1 A перпендикулярно AB; O_2 B перпендикулярно AB; O_1 A || O_2 B;
2) Накрест лежащие углы:
O_1 A || O_2 B; AO_2; угол O_1 AO_2=угол BO_2 A;
O_1 A || O_2 B; BO_1; угол BO_1 A=угол O_1 BO_2;
3) По второму признаку:
O_1 A=O_2 B=R, угол A=угол O_2, угол B=угол O_1;
треугольник AEO_1=треугольник BEO_2; AE=EO_2; O_1 E=BE;
4) По первому признаку:
угол AEB=угол O_1 EO_2; AE=EO_2; O_1 E=BE;
треугольник AEB=треугольник O_1 EO_2,поэтому AB=O_1 O_2;
Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Как изменится площадь прямоугольника, если: а) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза; б) каждую сторону увеличить в два раза; в) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза, а другую — уменьшить в два раза?
