Упр.457 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить окружность с двумя заданными касаниямиС пояснением
Обозначим центр данной окружности через O, её радиус через r.1) Проведём через A перпендикуляр n к прямой m. Центр X искомой окружности обязательно лежит на n, потому что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.2) Опустим из O перпендикуляр OH на n. Выберем на n направление и будем считать отрезки в этом направлении положительными. Обозначим AH = y, AO = d, AX = x. Радиус искомой окружности равен |x|.3) Для каждой из двух полупрямых n рассматриваем два вида касания.
При внешнем касании строим отрезок x из равенства
x = (d² − r²) : (2(y + εr)).
При внутреннем касании строим отрезок x из равенства
x = (d² − r²) : (2(y − εr)).
Здесь ε = 1 для выбранной положительной полупрямой и ε = −1 для противоположной. Разность квадратов удобно строить как (d − r)(d + r), а деление и умножение отрезков выполняются построением пропорциональных отрезков с помощью подобных треугольников.4) На соответствующей полупрямой откладываем найденную положительную длину |x| и получаем точку X. Проводим окружность с центром X и радиусом XA.5) Проверяем построение: при внешнем касании должно выполняться OX = OA? Нет, проверяем OX = XA + r; при внутреннем — OX = |XA − r|. Точки, для которых равенство не выполняется, отбрасываем.Особый случай: если данная окружность касается m в точке A, решений бесконечно много — можно брать подходящие центры на перпендикуляре n. Если A лежит на данной окружности, но m не является касательной в A, решения нет.Ответ: центры искомых окружностей — подходящие построенные точки X на перпендикуляре к m в точке A; радиусы равны XA.
Кратко Пусть O — центр, r — радиус данной окружности.1) Через A проведём перпендикуляр n к m: на нём должен находиться центр X искомой окружности.
2) Для каждой полупрямой n построим возможные положения X из условий:
OX = XA + r — внешнее касание;
OX = |XA − r| — внутреннее касание.
Для построения используем проекцию O на n и подобные треугольники.
3) С центром в каждой подходящей точке X проведём окружность радиуса XA.Ответ: искомые окружности имеют центры X на перпендикуляре к m в точке A и радиусы XA.
При внешнем касании строим отрезок x из равенства
x = (d² − r²) : (2(y + εr)).
При внутреннем касании строим отрезок x из равенства
x = (d² − r²) : (2(y − εr)).
Здесь ε = 1 для выбранной положительной полупрямой и ε = −1 для противоположной. Разность квадратов удобно строить как (d − r)(d + r), а деление и умножение отрезков выполняются построением пропорциональных отрезков с помощью подобных треугольников.4) На соответствующей полупрямой откладываем найденную положительную длину |x| и получаем точку X. Проводим окружность с центром X и радиусом XA.5) Проверяем построение: при внешнем касании должно выполняться OX = OA? Нет, проверяем OX = XA + r; при внутреннем — OX = |XA − r|. Точки, для которых равенство не выполняется, отбрасываем.Особый случай: если данная окружность касается m в точке A, решений бесконечно много — можно брать подходящие центры на перпендикуляре n. Если A лежит на данной окружности, но m не является касательной в A, решения нет.Ответ: центры искомых окружностей — подходящие построенные точки X на перпендикуляре к m в точке A; радиусы равны XA.
Кратко Пусть O — центр, r — радиус данной окружности.1) Через A проведём перпендикуляр n к m: на нём должен находиться центр X искомой окружности.
2) Для каждой полупрямой n построим возможные положения X из условий:
OX = XA + r — внешнее касание;
OX = |XA − r| — внутреннее касание.
Для построения используем проекцию O на n и подобные треугольники.
3) С центром в каждой подходящей точке X проведём окружность радиуса XA.Ответ: искомые окружности имеют центры X на перпендикуляре к m в точке A и радиусы XA.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти сторону равновеликого квадратаС пояснением
1) 8 · 18 = 144 (м²) — площадь прямоугольника.
2) 12 · 12 = 144 (м²), значит, сторона квадрата равна 12 м.
Ответ: 12 м.
Кратко 8 · 18 = 144 (м²).
Так как 12 · 12 = 144, сторона квадрата равна 12 м.
Ответ: 12 м.
2) 12 · 12 = 144 (м²), значит, сторона квадрата равна 12 м.
Ответ: 12 м.
Кратко 8 · 18 = 144 (м²).
Так как 12 · 12 = 144, сторона квадрата равна 12 м.
Ответ: 12 м.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Даны окружность, прямая m, а также точка А на прямой m. Постройте окружность, касающуюся прямой m в точке А и данной окружности.
1) Через точку A проведем перпендикуляр к прямой m;
2) Построим отрезок AA_1 равный радиусу r окружности;
3) Построим серединный перпендикуляр к отрезку A_1 C;
4) Отметим точку O на пересечении перпендикуляров;
5) Из точки O проведем окружность с радиусом OA.
Задание учебника 2023 года
Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со смежными сторонами 8 м и 18 м.
