Упр.454 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить общие касательные двух окружностейС пояснением
Пусть R ≥ r.1) Для построения внешних касательных проведём вспомогательную окружность с центром O₁ и радиусом R − r.
2) Из точки O₂ построим две касательные к этой окружности. Пусть A — одна из точек касания.
3) На луче O₁A отметим точку P исходной окружности: O₁P = R. Через P проведём прямую, параллельную O₂A. Она будет общей внешней касательной. Так же строится вторая внешняя касательная.
4) Для построения внутренних касательных проведём окружность с центром O₁ и радиусом R + r.
5) Из O₂ проведём к ней две касательные. Для каждой точки касания A на луче O₁A отметим P так, чтобы O₁P = R, и через P проведём прямую, параллельную O₂A. Получим две общие внутренние касательные.Если R = r, внешние касательные строятся как две прямые, параллельные O₁O₂ и удалённые от неё на R.Так как O₁O₂ > R + r, можно построить две внешние и две внутренние общие касательные.Ответ: 4 общие касательные.
Кратко Строим две внешние касательные с помощью вспомогательной окружности радиуса |R − r|, а две внутренние — с помощью окружности радиуса R + r. Полученные касательные переносим параллельно так, чтобы они касались исходных окружностей.Ответ: 4 общие касательные — 2 внешние и 2 внутренние.
2) Из точки O₂ построим две касательные к этой окружности. Пусть A — одна из точек касания.
3) На луче O₁A отметим точку P исходной окружности: O₁P = R. Через P проведём прямую, параллельную O₂A. Она будет общей внешней касательной. Так же строится вторая внешняя касательная.
4) Для построения внутренних касательных проведём окружность с центром O₁ и радиусом R + r.
5) Из O₂ проведём к ней две касательные. Для каждой точки касания A на луче O₁A отметим P так, чтобы O₁P = R, и через P проведём прямую, параллельную O₂A. Получим две общие внутренние касательные.Если R = r, внешние касательные строятся как две прямые, параллельные O₁O₂ и удалённые от неё на R.Так как O₁O₂ > R + r, можно построить две внешние и две внутренние общие касательные.Ответ: 4 общие касательные.
Кратко Строим две внешние касательные с помощью вспомогательной окружности радиуса |R − r|, а две внутренние — с помощью окружности радиуса R + r. Полученные касательные переносим параллельно так, чтобы они касались исходных окружностей.Ответ: 4 общие касательные — 2 внешние и 2 внутренние.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Найти стороны прямоугольника по площади
Найти стороны прямоугольника по площадиС пояснением
1) Пусть x см — меньшая сторона прямоугольника, тогда 2,5x см — большая сторона.
2) x · 2,5x = 250 — по формуле площади прямоугольника.
3) 2,5x² = 250;
x² = 100;
x = 10 (см) — меньшая сторона, так как длина положительна.
4) 10 · 2,5 = 25 (см) — большая сторона.
Проверка: 10 · 25 = 250 (см²).
Ответ: 10 см и 25 см.
Кратко Пусть меньшая сторона равна x см, тогда большая — 2,5x см.
x · 2,5x = 250;
x² = 100;
x = 10 (см).
10 · 2,5 = 25 (см).
Ответ: 10 см и 25 см.
2) x · 2,5x = 250 — по формуле площади прямоугольника.
3) 2,5x² = 250;
x² = 100;
x = 10 (см) — меньшая сторона, так как длина положительна.
4) 10 · 2,5 = 25 (см) — большая сторона.
Проверка: 10 · 25 = 250 (см²).
Ответ: 10 см и 25 см.
Кратко Пусть меньшая сторона равна x см, тогда большая — 2,5x см.
x · 2,5x = 250;
x² = 100;
x = 10 (см).
10 · 2,5 = 25 (см).
Ответ: 10 см и 25 см.
Разбор 2 Найти стороны прямоугольника
Найти стороны прямоугольникаС пояснением
Пусть стороны прямоугольника равны a м и b м.1) a + b = 12 : 2 = 6 (м) — сумма двух соседних сторон.
2) (a − b)² = (a + b)² − 4ab = 6² − 4 · 9 = 0, значит, a = b.
3) a = b = 6 : 2 = 3 (м).Проверка: 3 · 3 = 9 м²; 2 · (3 + 3) = 12 м.Ответ: 3 м и 3 м.
Кратко 1) 12 : 2 = 6 (м) — сумма длины и ширины.
2) Так как сумма сторон равна 6 м, а их произведение — 9 м², обе стороны равны 3 м.Ответ: 3 м и 3 м.
2) (a − b)² = (a + b)² − 4ab = 6² − 4 · 9 = 0, значит, a = b.
3) a = b = 6 : 2 = 3 (м).Проверка: 3 · 3 = 9 м²; 2 · (3 + 3) = 12 м.Ответ: 3 м и 3 м.
Кратко 1) 12 : 2 = 6 (м) — сумма длины и ширины.
2) Так как сумма сторон равна 6 м, а их произведение — 9 м², обе стороны равны 3 м.Ответ: 3 м и 3 м.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Даны две окружности, не имеющие общих точек. Постройте их общую касательную. Сколько таких касательных можно построить?
1) Отметим точку M на середине отрезка O_1 O_2;
2) Из точки M проведем окружность с радиусом O_1 M;
3) Из точки O_1 проведем окружность с радиусом (R-r);
4) Отметим точку E на пересечении новых окружностей;
5) Из точки E проведем окружность меньшего радиуса;
6) Отметим A на пересечении с первой окружностью;
7) Построим прямую AB параллельно прямой EO_2.
Ответ: четыре.
Задание учебника 2023 года
Найдите стороны прямоугольника, если: а) его площадь равна 250 см2, а одна сторона в 2,5 раза больше другой; б) его площадь равна 9 м2, а периметр равен 12 м.
