Упр.301 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить треугольник по стороне, углу и высотеС пояснением
Пусть даны сторона AB, прилежащий к ней угол A и высота h.1) Построим отрезок AB, равный данной стороне.
2) В точке A построим луч AC так, чтобы угол BAC был равен данному углу.
3) Проведём прямую, параллельную AB и находящуюся от неё на расстоянии h. Для этого восстановим к AB перпендикуляр, отложим на нём отрезок длины h и через его конец проведём прямую, перпендикулярную этому отрезку.
4) Точку пересечения построенной параллельной прямой с лучом AC обозначим C.
5) Соединим C и B. Треугольник ABC построен.Действительно, AB равна данной стороне, угол BAC равен данному углу, а расстояние от точки C до прямой AB равно h. Значит, высота треугольника, проведённая к стороне AB, равна данной высоте.Ответ: искомый треугольник ABC построен.
Кратко 1) Построить данную сторону AB.
2) Из точки A провести луч под данным углом к AB.
3) На расстоянии h от AB провести прямую, параллельную AB.
4) Её пересечение с лучом обозначить C и соединить C с B.Ответ: треугольник ABC — искомый.
2) В точке A построим луч AC так, чтобы угол BAC был равен данному углу.
3) Проведём прямую, параллельную AB и находящуюся от неё на расстоянии h. Для этого восстановим к AB перпендикуляр, отложим на нём отрезок длины h и через его конец проведём прямую, перпендикулярную этому отрезку.
4) Точку пересечения построенной параллельной прямой с лучом AC обозначим C.
5) Соединим C и B. Треугольник ABC построен.Действительно, AB равна данной стороне, угол BAC равен данному углу, а расстояние от точки C до прямой AB равно h. Значит, высота треугольника, проведённая к стороне AB, равна данной высоте.Ответ: искомый треугольник ABC построен.
Кратко 1) Построить данную сторону AB.
2) Из точки A провести луч под данным углом к AB.
3) На расстоянии h от AB провести прямую, параллельную AB.
4) Её пересечение с лучом обозначить C и соединить C с B.Ответ: треугольник ABC — искомый.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Доказать равенство наклонных АМ₁ и АМ₂
Доказать равенство наклонных АМ₁ и АМ₂С пояснением
1) Рассмотрим треугольники АНМ₁ и АНМ₂. Они прямоугольные, так как АН ⟂ а, поэтому ∠АНМ₁ = ∠АНМ₂ = 90°.
2) АН — общая сторона, а НМ₁ = НМ₂ по условию.
3) Следовательно, треугольники АНМ₁ и АНМ₂ равны по двум сторонам и углу между ними.
4) Значит, их соответствующие стороны АМ₁ и АМ₂ равны.
Ответ: АМ₁ = АМ₂.
Кратко Треугольники АНМ₁ и АНМ₂ равны по двум сторонам и углу между ними: АН — общая сторона, НМ₁ = НМ₂, а углы при Н равны 90°. Поэтому АМ₁ = АМ₂.
Ответ: АМ₁ = АМ₂.
2) АН — общая сторона, а НМ₁ = НМ₂ по условию.
3) Следовательно, треугольники АНМ₁ и АНМ₂ равны по двум сторонам и углу между ними.
4) Значит, их соответствующие стороны АМ₁ и АМ₂ равны.
Ответ: АМ₁ = АМ₂.
Кратко Треугольники АНМ₁ и АНМ₂ равны по двум сторонам и углу между ними: АН — общая сторона, НМ₁ = НМ₂, а углы при Н равны 90°. Поэтому АМ₁ = АМ₂.
Ответ: АМ₁ = АМ₂.
Разбор 2 Сравнить наклонные АМ₁ и АМ₂
Сравнить наклонные АМ₁ и АМ₂С пояснением
1) На луче НМ₂ отметим точку K так, чтобы НK = НМ₁. Поскольку НМ₁ < НМ₂, точка K лежит между Н и М₂.
2) Прямоугольные треугольники АНМ₁ и АНK равны по двум катетам: АН — общий катет, НМ₁ = НK. Поэтому АМ₁ = АK.
3) Угол АKМ₂ тупой, так как он смежный с острым углом АKН. В треугольнике АKМ₂ против большего, тупого угла лежит большая сторона, поэтому АМ₂ > АK.
4) Так как АK = АМ₁, получаем АМ₂ > АМ₁.
Ответ: АМ₁ < АМ₂.
Кратко На луче НМ₂ отметим точку K так, что НK = НМ₁. Тогда прямоугольные треугольники АНK и АНМ₁ равны по двум катетам, поэтому АK = АМ₁. В треугольнике АKМ₂ угол АKМ₂ тупой, значит против него лежит наибольшая сторона: АМ₂ > АK = АМ₁.
Ответ: АМ₁ < АМ₂.
2) Прямоугольные треугольники АНМ₁ и АНK равны по двум катетам: АН — общий катет, НМ₁ = НK. Поэтому АМ₁ = АK.
3) Угол АKМ₂ тупой, так как он смежный с острым углом АKН. В треугольнике АKМ₂ против большего, тупого угла лежит большая сторона, поэтому АМ₂ > АK.
4) Так как АK = АМ₁, получаем АМ₂ > АМ₁.
Ответ: АМ₁ < АМ₂.
Кратко На луче НМ₂ отметим точку K так, что НK = НМ₁. Тогда прямоугольные треугольники АНK и АНМ₁ равны по двум катетам, поэтому АK = АМ₁. В треугольнике АKМ₂ угол АKМ₂ тупой, значит против него лежит наибольшая сторона: АМ₂ > АK = АМ₁.
Ответ: АМ₁ < АМ₂.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне.
Решение
Даны отрезки P1Q1 и P2Q2 и угол hk (рис. 144, а). Требуется построить треугольник ABC, у которого одна из сторон, скажем АВ, равна отрезку P1Q1, один из прилежащих к ней углов, например угол А, равен данному углу hk, а высота СН, проведённая к стороне АВ, равна данному отрезку P2Q2. Построим угол XAY, равный данному углу hk, и отложим на луче АХ отрезок АВ, равный данному отрезку P1Q1 (рис. 144, б). Для построения вершины С искомого треугольника заметим, что расстояние от точки С до прямой АВ должно равняться P2Q2. Множеством всех точек плоскости, находящихся на расстоянии P2Q2 от прямой АВ и лежащих по ту же сторону от прямой АВ, что и точка Y, является прямая р, параллельная прямой АВ и находящаяся на расстоянии P2Q2 от прямой АВ. Следовательно, искомая точка С есть точка пересечения прямой р и луча AY. Построение прямой р описано в решении задачи 284. Очевидно, треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи: AB = P1Q1, СН = P2Q2, угол A=угол hk.
Задание учебника 2023 года
Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2. Докажите, что:
а) если НМ1= НМ2, то АМ1 = АМ2;
б) если НМ1 < НМ2, то АМ1 < АМ2.
