Упр.302 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить треугольник по двум сторонам и высотеС пояснением
Пусть даны стороны AB, AC и высота h, проведённая к стороне AB.1) Построим отрезок AB, равный данной стороне.
2) Построим прямую l, параллельную AB и находящуюся от неё на расстоянии h. Для этого в любой точке AB восстановим перпендикуляр, отложим на нём отрезок длины h и через его конец проведём прямую l, перпендикулярную этому отрезку.
3) Проведём окружность с центром A и радиусом, равным данной стороне AC.
4) Точку пересечения окружности с прямой l обозначим C.
5) Соединим C с A и B. Полученный треугольник ABC — искомый.Действительно, AB и AC равны данным сторонам, а расстояние от точки C до прямой AB равно h, значит, высота треугольника, проведённая к стороне AB, равна h.Если AC < h, построение невозможно. Возможны несколько расположений искомого треугольника.Ответ: треугольник ABC построен.
Кратко Пусть AB и AC — данные стороны, h — высота к AB.
1) Построим отрезок AB.
2) На расстоянии h от AB проведём параллельную прямую.
3) Проведём окружность с центром A и радиусом AC.
4) Точку её пересечения с параллельной прямой обозначим C и соединим с A и B.Ответ: ABC — искомый треугольник.
2) Построим прямую l, параллельную AB и находящуюся от неё на расстоянии h. Для этого в любой точке AB восстановим перпендикуляр, отложим на нём отрезок длины h и через его конец проведём прямую l, перпендикулярную этому отрезку.
3) Проведём окружность с центром A и радиусом, равным данной стороне AC.
4) Точку пересечения окружности с прямой l обозначим C.
5) Соединим C с A и B. Полученный треугольник ABC — искомый.Действительно, AB и AC равны данным сторонам, а расстояние от точки C до прямой AB равно h, значит, высота треугольника, проведённая к стороне AB, равна h.Если AC < h, построение невозможно. Возможны несколько расположений искомого треугольника.Ответ: треугольник ABC построен.
Кратко Пусть AB и AC — данные стороны, h — высота к AB.
1) Построим отрезок AB.
2) На расстоянии h от AB проведём параллельную прямую.
3) Проведём окружность с центром A и радиусом AC.
4) Точку её пересечения с параллельной прямой обозначим C и соединим с A и B.Ответ: ABC — искомый треугольник.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Сравнить наклонные и их проекцииС пояснением
а) Треугольники АНМ₁ и АНМ₂ прямоугольные. У них АН — общий катет, а АМ₁ = АМ₂ — равные гипотенузы. Поэтому треугольники равны по гипотенузе и катету. Значит, НМ₁ = НМ₂.б) Предположим противное: при АМ₁ < АМ₂ выполняется НМ₁ ≥ НМ₂.
1) Если НМ₁ = НМ₂, то по доказанному выше АМ₁ = АМ₂, что противоречит условию.
2) Пусть НМ₁ > НМ₂. На луче НМ₁ отметим точку N так, что НN = НМ₂. Тогда треугольники АНN и АНМ₂ равны по двум катетам, поэтому АN = АМ₂.
3) Точка N лежит между Н и М₁. В треугольнике АNМ₁ угол АNМ₁ тупой, поэтому сторона АМ₁, лежащая напротив него, больше стороны АN. Следовательно, АМ₁ > АN = АМ₂. Это противоречит условию АМ₁ < АМ₂.Значит, НМ₁ < НМ₂.
Ответ: а) НМ₁ = НМ₂; б) НМ₁ < НМ₂.
Кратко а) Прямоугольные треугольники АНМ₁ и АНМ₂ равны по гипотенузе и катету: АМ₁ = АМ₂, АН — общий. Поэтому НМ₁ = НМ₂.б) Если бы НМ₁ ≥ НМ₂, то при равенстве проекций получили бы АМ₁ = АМ₂, а при НМ₁ > НМ₂ — АМ₁ > АМ₂. Оба вывода противоречат условию АМ₁ < АМ₂. Значит, НМ₁ < НМ₂.Ответ: а) НМ₁ = НМ₂; б) НМ₁ < НМ₂.
1) Если НМ₁ = НМ₂, то по доказанному выше АМ₁ = АМ₂, что противоречит условию.
2) Пусть НМ₁ > НМ₂. На луче НМ₁ отметим точку N так, что НN = НМ₂. Тогда треугольники АНN и АНМ₂ равны по двум катетам, поэтому АN = АМ₂.
3) Точка N лежит между Н и М₁. В треугольнике АNМ₁ угол АNМ₁ тупой, поэтому сторона АМ₁, лежащая напротив него, больше стороны АN. Следовательно, АМ₁ > АN = АМ₂. Это противоречит условию АМ₁ < АМ₂.Значит, НМ₁ < НМ₂.
Ответ: а) НМ₁ = НМ₂; б) НМ₁ < НМ₂.
Кратко а) Прямоугольные треугольники АНМ₁ и АНМ₂ равны по гипотенузе и катету: АМ₁ = АМ₂, АН — общий. Поэтому НМ₁ = НМ₂.б) Если бы НМ₁ ≥ НМ₂, то при равенстве проекций получили бы АМ₁ = АМ₂, а при НМ₁ > НМ₂ — АМ₁ > АМ₂. Оба вывода противоречат условию АМ₁ < АМ₂. Значит, НМ₁ < НМ₂.Ответ: а) НМ₁ = НМ₂; б) НМ₁ < НМ₂.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон.
Задание учебника 2023 года
Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2. Докажите, что:
а) если АМ1 = АМ2, то НМ1 = НМ2,
б) если АМ1 < AM2, то НМ1 < НМ2.
