Упр.307 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти угол A равнобедренного треугольникаС пояснением
Обозначим ∠A = x, а равные углы при основании ∠ABC = ∠ACB = y.1) x + 2y = 180°.2) Так как RB = BC, треугольник RBC равнобедренный:
∠BRC = ∠RCB = y,
∠RBC = 180° − 2y = x.3) ∠QBR = ∠ABC − ∠RBC = y − x.
Так как QR = RB, треугольник QRB равнобедренный, поэтому
∠RQB = ∠QBR = y − x,
∠QRB = 180° − 2(y − x).
Тогда из развёрнутого угла ARC:
∠ARQ = 180° − y − [180° − 2(y − x)] = y − 2x.4) Так как PQ = QR, треугольник PQR равнобедренный:
∠QPR = ∠PRQ = y − 2x.
Углы APQ и QPR смежные, поэтому
∠APQ = 180° − y + 2x.5) Так как AP = PQ, треугольник APQ равнобедренный. Поэтому
∠PAQ = ∠AQP = x,
∠APQ = 180° − 2x.
Следовательно,
180° − y + 2x = 180° − 2x,
y = 4x.6) Подставим y = 4x в равенство x + 2y = 180°:
x + 8x = 180°,
x = 20°.Ответ: ∠A = 20°.
Кратко Пусть ∠A = x, а ∠B = ∠C = y. Последовательно рассматривая равнобедренные треугольники RBC, RQB, PQR и APQ, получаем y = 4x.x + 2y = 180°,
x + 8x = 180°,
x = 20°.Ответ: ∠A = 20°.
∠BRC = ∠RCB = y,
∠RBC = 180° − 2y = x.3) ∠QBR = ∠ABC − ∠RBC = y − x.
Так как QR = RB, треугольник QRB равнобедренный, поэтому
∠RQB = ∠QBR = y − x,
∠QRB = 180° − 2(y − x).
Тогда из развёрнутого угла ARC:
∠ARQ = 180° − y − [180° − 2(y − x)] = y − 2x.4) Так как PQ = QR, треугольник PQR равнобедренный:
∠QPR = ∠PRQ = y − 2x.
Углы APQ и QPR смежные, поэтому
∠APQ = 180° − y + 2x.5) Так как AP = PQ, треугольник APQ равнобедренный. Поэтому
∠PAQ = ∠AQP = x,
∠APQ = 180° − 2x.
Следовательно,
180° − y + 2x = 180° − 2x,
y = 4x.6) Подставим y = 4x в равенство x + 2y = 180°:
x + 8x = 180°,
x = 20°.Ответ: ∠A = 20°.
Кратко Пусть ∠A = x, а ∠B = ∠C = y. Последовательно рассматривая равнобедренные треугольники RBC, RQB, PQR и APQ, получаем y = 4x.x + 2y = 180°,
x + 8x = 180°,
x = 20°.Ответ: ∠A = 20°.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство углов трёх треугольниковС пояснением
Пусть △ABC прямоугольный, ∠C = 90°, а CH — высота, проведённая к гипотенузе AB.1) Рассмотрим △ABC и △ACH. У них ∠A — общий, а ∠ACB = ∠AHC = 90°. Поэтому их третьи углы также равны: ∠ABC = ∠ACH.2) Рассмотрим △ABC и △CBH. У них ∠B — общий, а ∠ACB = ∠CHB = 90°. Поэтому ∠BAC = ∠BCH.Значит, во всех трёх треугольниках есть соответственно равные углы:
∠ACB = ∠AHC = ∠CHB,
∠BAC = ∠CAH = ∠BCH,
∠ABC = ∠ACH = ∠CBH.Ответ: данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.
Кратко Пусть ∠C = 90°, CH ⟂ AB.В △ABC и △ACH:
∠A — общий, ∠ACB = ∠AHC = 90°, значит, ∠ABC = ∠ACH.В △ABC и △CBH:
∠B — общий, ∠ACB = ∠CHB = 90°, значит, ∠BAC = ∠BCH.Следовательно, углы трёх треугольников соответственно равны.Ответ: △ABC, △ACH и △CBH имеют соответственно равные углы.
∠ACB = ∠AHC = ∠CHB,
∠BAC = ∠CAH = ∠BCH,
∠ABC = ∠ACH = ∠CBH.Ответ: данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.
Кратко Пусть ∠C = 90°, CH ⟂ AB.В △ABC и △ACH:
∠A — общий, ∠ACB = ∠AHC = 90°, значит, ∠ABC = ∠ACH.В △ABC и △CBH:
∠B — общий, ∠ACB = ∠CHB = 90°, значит, ∠BAC = ∠BCH.Следовательно, углы трёх треугольников соответственно равны.Ответ: △ABC, △ACH и △CBH имеют соответственно равные углы.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
На рисунке 146 АВ = АС, АР = PQ =QR = RB = BC. Найдите угол А.
Задание учебника 2023 года
В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.
