Упр.125 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Разбор 1 Доказать равенство треугольников BDE и BDF
Доказать равенство треугольников BDE и BDFС пояснением
1) AB = CB, так как △ABC равнобедренный. AD = DC, так как BD — медиана, а BD — общая сторона. Значит, △ABD = △CBD по трём сторонам.
2) Из равенства этих треугольников следует, что ∠ABD = ∠DBC.
3) BE = AB − AE, BF = CB − CF. Поскольку AB = CB и AE = CF, то BE = BF.
4) В треугольниках BDE и BDF: BE = BF, BD — общая сторона, ∠EBD = ∠DBF. Поэтому △BDE = △BDF по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: △BDE = △BDF.
Кратко AB = CB и AE = CF, поэтому BE = BF. Медиана BD, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой, значит ∠EBD = ∠DBF. Сторона BD — общая. Следовательно, △BDE = △BDF по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: △BDE = △BDF.
2) Из равенства этих треугольников следует, что ∠ABD = ∠DBC.
3) BE = AB − AE, BF = CB − CF. Поскольку AB = CB и AE = CF, то BE = BF.
4) В треугольниках BDE и BDF: BE = BF, BD — общая сторона, ∠EBD = ∠DBF. Поэтому △BDE = △BDF по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: △BDE = △BDF.
Кратко AB = CB и AE = CF, поэтому BE = BF. Медиана BD, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой, значит ∠EBD = ∠DBF. Сторона BD — общая. Следовательно, △BDE = △BDF по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: △BDE = △BDF.
Разбор 2 Доказать равенство треугольников ADE и CDF
Доказать равенство треугольников ADE и CDFС пояснением
1) Так как BD — медиана, то AD = DC.
2) По условию AE = CF.
3) В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠ACB. Поэтому ∠DAE = ∠DCF.
4) Следовательно, △ADE = △CDF по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: △ADE = △CDF.
Кратко AD = DC, так как BD — медиана; AE = CF по условию; ∠DAE = ∠DCF как углы при основании равнобедренного треугольника ABC. Значит, △ADE = △CDF по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: △ADE = △CDF.
2) По условию AE = CF.
3) В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠ACB. Поэтому ∠DAE = ∠DCF.
4) Следовательно, △ADE = △CDF по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: △ADE = △CDF.
Кратко AD = DC, так как BD — медиана; AE = CF по условию; ∠DAE = ∠DCF как углы при основании равнобедренного треугольника ABC. Значит, △ADE = △CDF по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: △ADE = △CDF.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство углов и отрезковС пояснением
1) Так как O лежит на AC и BD, то ∠DAO = ∠DAC, а ∠OBC = ∠DBC. Поэтому ∠DAO = ∠OBC.
2) ∠AOD = ∠BOC как вертикальные углы.
3) AO = BO по условию. Следовательно, треугольники AOD и BOC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
4) Из равенства треугольников следует, что ∠ODA = ∠OCB и OD = OC.
5) Лучи DA и DO образуют угол BDA, так как точки B, O, D лежат на одной прямой. Аналогично ∠OCB = ∠ACB. Значит, ∠ACB = ∠BDA.
6) AC = AO + OC, BD = BO + OD. Так как AO = BO и OC = OD, то AC = BD.
Ответ: ∠ACB = ∠BDA, AC = BD.
Кратко Рассмотрим треугольники AOD и BOC. В них AO = BO, ∠DAO = ∠OBC по условию, а ∠AOD = ∠BOC как вертикальные. Поэтому треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда ∠ACB = ∠BDA и OC = OD. Тогда AC = AO + OC = BO + OD = BD.
Ответ: ∠ACB = ∠BDA, AC = BD.
2) ∠AOD = ∠BOC как вертикальные углы.
3) AO = BO по условию. Следовательно, треугольники AOD и BOC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
4) Из равенства треугольников следует, что ∠ODA = ∠OCB и OD = OC.
5) Лучи DA и DO образуют угол BDA, так как точки B, O, D лежат на одной прямой. Аналогично ∠OCB = ∠ACB. Значит, ∠ACB = ∠BDA.
6) AC = AO + OC, BD = BO + OD. Так как AO = BO и OC = OD, то AC = BD.
Ответ: ∠ACB = ∠BDA, AC = BD.
Кратко Рассмотрим треугольники AOD и BOC. В них AO = BO, ∠DAO = ∠OBC по условию, а ∠AOD = ∠BOC как вертикальные. Поэтому треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда ∠ACB = ∠BDA и OC = OD. Тогда AC = AO + OC = BO + OD = BD.
Ответ: ∠ACB = ∠BDA, AC = BD.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
В В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены соответственно точки Е и F так, что AE = CF. Докажите, что:
a) треугольникBDE = треугольникBDF; б) треугольникADE = треугольникCDF.
Задание учебника 2023 года
На рисунке 74 уголDAC = уголDBC, АО = ВО. Докажите, что уголC = уголD и АС = BD.
