Упр.118 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Разбор 1 Доказать, что ∠OMP = ∠OPM
Доказать, что ∠OMP = ∠OPMС пояснением
1) Рассмотрим прямоугольные треугольники MNO и PQO. Так как MN ⟂ b и PQ ⟂ b, то ∠MNO = ∠PQO = 90°.
2) MN = PQ по условию, а NO = OQ, так как O — середина отрезка NQ.
3) Следовательно, треугольники MNO и PQO равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, их гипотенузы OM и OP равны.
4) Треугольник MOP равнобедренный с основанием MP, поэтому углы при его основании равны: ∠OMP = ∠OPM.
Ответ: ∠OMP = ∠OPM.
Кратко Треугольники MNO и PQO равны по двум сторонам и углу между ними: MN = PQ, NO = OQ, ∠MNO = ∠PQO = 90°. Поэтому OM = OP. Значит, треугольник MOP равнобедренный и ∠OMP = ∠OPM.
Ответ: ∠OMP = ∠OPM.
2) MN = PQ по условию, а NO = OQ, так как O — середина отрезка NQ.
3) Следовательно, треугольники MNO и PQO равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, их гипотенузы OM и OP равны.
4) Треугольник MOP равнобедренный с основанием MP, поэтому углы при его основании равны: ∠OMP = ∠OPM.
Ответ: ∠OMP = ∠OPM.
Кратко Треугольники MNO и PQO равны по двум сторонам и углу между ними: MN = PQ, NO = OQ, ∠MNO = ∠PQO = 90°. Поэтому OM = OP. Значит, треугольник MOP равнобедренный и ∠OMP = ∠OPM.
Ответ: ∠OMP = ∠OPM.
Разбор 2 Найдите угол NOM
Найдите угол NOMС пояснением
1) MN и PQ равны и перпендикулярны прямой b, значит, они параллельны. Поэтому четырёхугольник MNPQ — параллелограмм, следовательно, MP ∥ NQ.
2) Треугольник MOP равнобедренный, так как ∠OMP = ∠OPM. Тогда
∠OMP = ∠OPM = (180° − 105°) : 2 = 37,5°.
3) Поскольку MP ∥ NQ, а точки N, O, Q лежат на одной прямой, ∠NOM = ∠OMP = 37,5° как накрест лежащие углы.
Ответ: 37,5°.
Кратко ∠OMP = (180° − 105°) : 2 = 37,5°.
Так как MP ∥ NQ, то ∠NOM = ∠OMP = 37,5°.
Ответ: 37,5°.
2) Треугольник MOP равнобедренный, так как ∠OMP = ∠OPM. Тогда
∠OMP = ∠OPM = (180° − 105°) : 2 = 37,5°.
3) Поскольку MP ∥ NQ, а точки N, O, Q лежат на одной прямой, ∠NOM = ∠OMP = 37,5° как накрест лежащие углы.
Ответ: 37,5°.
Кратко ∠OMP = (180° − 105°) : 2 = 37,5°.
Так как MP ∥ NQ, то ∠NOM = ∠OMP = 37,5°.
Ответ: 37,5°.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Доказать равенство треугольников BAM и CAN
Доказать равенство треугольников BAM и CANС пояснением
1) Так как ABC — равнобедренный треугольник с основанием BC, то AB = AC и ∠ABC = ∠ACB.
2) Точки M и N лежат на BC, поэтому ∠ABM = ∠ABC, а ∠ACN = ∠ACB. Следовательно, ∠ABM = ∠ACN.
3) По условию BM = CN.
Таким образом, в треугольниках BAM и CAN равны две стороны и угол между ними: AB = AC, BM = CN, ∠ABM = ∠ACN. Значит, эти треугольники равны по первому признаку.
Ответ: △BAM = △CAN.
Кратко AB = AC, так как △ABC равнобедренный; BM = CN по условию; ∠ABM = ∠ACN как углы при основании △ABC. Поэтому △BAM = △CAN по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: △BAM = △CAN.
2) Точки M и N лежат на BC, поэтому ∠ABM = ∠ABC, а ∠ACN = ∠ACB. Следовательно, ∠ABM = ∠ACN.
3) По условию BM = CN.
Таким образом, в треугольниках BAM и CAN равны две стороны и угол между ними: AB = AC, BM = CN, ∠ABM = ∠ACN. Значит, эти треугольники равны по первому признаку.
Ответ: △BAM = △CAN.
Кратко AB = AC, так как △ABC равнобедренный; BM = CN по условию; ∠ABM = ∠ACN как углы при основании △ABC. Поэтому △BAM = △CAN по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: △BAM = △CAN.
Разбор 2 Доказать, что треугольник AMN равнобедренный
Доказать, что треугольник AMN равнобедренныйС пояснением
1) Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то AB = AC и ∠ABC = ∠ACB.
2) Поскольку точки M и N лежат на основании BC, то ∠ABM = ∠ABC, а ∠ACN = ∠ACB. Значит, ∠ABM = ∠ACN.
3) В треугольниках ABM и ACN: AB = AC, BM = CN и ∠ABM = ∠ACN. Поэтому ΔABM = ΔACN по двум сторонам и углу между ними.
4) Следовательно, AM = AN как соответствующие стороны равных треугольников. Значит, треугольник AMN равнобедренный.
Ответ: ΔAMN равнобедренный, его боковые стороны AM и AN равны.
Кратко AB = AC, ∠ABM = ∠ACN и BM = CN, поэтому ΔABM = ΔACN по двум сторонам и углу между ними. Отсюда AM = AN.
Ответ: треугольник AMN равнобедренный.
2) Поскольку точки M и N лежат на основании BC, то ∠ABM = ∠ABC, а ∠ACN = ∠ACB. Значит, ∠ABM = ∠ACN.
3) В треугольниках ABM и ACN: AB = AC, BM = CN и ∠ABM = ∠ACN. Поэтому ΔABM = ΔACN по двум сторонам и углу между ними.
4) Следовательно, AM = AN как соответствующие стороны равных треугольников. Значит, треугольник AMN равнобедренный.
Ответ: ΔAMN равнобедренный, его боковые стороны AM и AN равны.
Кратко AB = AC, ∠ABM = ∠ACN и BM = CN, поэтому ΔABM = ΔACN по двум сторонам и углу между ними. Отсюда AM = AN.
Ответ: треугольник AMN равнобедренный.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведённые к прямой b, равны. Точка О — середина отрезка NQ.
а) Докажите, что уголOMP = уголOPM;
б) найдите уголNOM, если уголMOP= 105°.
Задание учебника 2023 года
В На основании ВС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки М и N так, что ВМ = CN. Докажите, что:
а) треугольникВАМ = треугольникCAN;
б) треугольник AMN равнобедренный.
