Упр.123 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Разбор 1 Доказать равенство треугольников BAM и CAN
Доказать равенство треугольников BAM и CANС пояснением
1) Так как ABC — равнобедренный треугольник с основанием BC, то AB = AC и ∠ABC = ∠ACB.
2) Точки M и N лежат на BC, поэтому ∠ABM = ∠ABC, а ∠ACN = ∠ACB. Следовательно, ∠ABM = ∠ACN.
3) По условию BM = CN.
Таким образом, в треугольниках BAM и CAN равны две стороны и угол между ними: AB = AC, BM = CN, ∠ABM = ∠ACN. Значит, эти треугольники равны по первому признаку.
Ответ: △BAM = △CAN.
Кратко AB = AC, так как △ABC равнобедренный; BM = CN по условию; ∠ABM = ∠ACN как углы при основании △ABC. Поэтому △BAM = △CAN по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: △BAM = △CAN.
2) Точки M и N лежат на BC, поэтому ∠ABM = ∠ABC, а ∠ACN = ∠ACB. Следовательно, ∠ABM = ∠ACN.
3) По условию BM = CN.
Таким образом, в треугольниках BAM и CAN равны две стороны и угол между ними: AB = AC, BM = CN, ∠ABM = ∠ACN. Значит, эти треугольники равны по первому признаку.
Ответ: △BAM = △CAN.
Кратко AB = AC, так как △ABC равнобедренный; BM = CN по условию; ∠ABM = ∠ACN как углы при основании △ABC. Поэтому △BAM = △CAN по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: △BAM = △CAN.
Разбор 2 Доказать, что треугольник AMN равнобедренный
Доказать, что треугольник AMN равнобедренныйС пояснением
1) Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то AB = AC и ∠ABC = ∠ACB.
2) Поскольку точки M и N лежат на основании BC, то ∠ABM = ∠ABC, а ∠ACN = ∠ACB. Значит, ∠ABM = ∠ACN.
3) В треугольниках ABM и ACN: AB = AC, BM = CN и ∠ABM = ∠ACN. Поэтому ΔABM = ΔACN по двум сторонам и углу между ними.
4) Следовательно, AM = AN как соответствующие стороны равных треугольников. Значит, треугольник AMN равнобедренный.
Ответ: ΔAMN равнобедренный, его боковые стороны AM и AN равны.
Кратко AB = AC, ∠ABM = ∠ACN и BM = CN, поэтому ΔABM = ΔACN по двум сторонам и углу между ними. Отсюда AM = AN.
Ответ: треугольник AMN равнобедренный.
2) Поскольку точки M и N лежат на основании BC, то ∠ABM = ∠ABC, а ∠ACN = ∠ACB. Значит, ∠ABM = ∠ACN.
3) В треугольниках ABM и ACN: AB = AC, BM = CN и ∠ABM = ∠ACN. Поэтому ΔABM = ΔACN по двум сторонам и углу между ними.
4) Следовательно, AM = AN как соответствующие стороны равных треугольников. Значит, треугольник AMN равнобедренный.
Ответ: ΔAMN равнобедренный, его боковые стороны AM и AN равны.
Кратко AB = AC, ∠ABM = ∠ACN и BM = CN, поэтому ΔABM = ΔACN по двум сторонам и углу между ними. Отсюда AM = AN.
Ответ: треугольник AMN равнобедренный.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что BD = CDС пояснением
Рассмотрим треугольники ADB и ADC.
1) ∠BAD = ∠DAC, так как AD — биссектриса угла A.
2) ∠ADB = ∠ADC по условию.
3) AD — общая сторона треугольников.
Следовательно, треугольники ADB и ADC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому их соответствующие стороны BD и CD равны.
Ответ: BD = CD.
Кратко △ADB = △ADC по стороне AD и двум прилежащим к ней углам: ∠BAD = ∠DAC, ∠ADB = ∠ADC. Значит, соответствующие стороны BD и CD равны.
Ответ: BD = CD.
1) ∠BAD = ∠DAC, так как AD — биссектриса угла A.
2) ∠ADB = ∠ADC по условию.
3) AD — общая сторона треугольников.
Следовательно, треугольники ADB и ADC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому их соответствующие стороны BD и CD равны.
Ответ: BD = CD.
Кратко △ADB = △ADC по стороне AD и двум прилежащим к ней углам: ∠BAD = ∠DAC, ∠ADB = ∠ADC. Значит, соответствующие стороны BD и CD равны.
Ответ: BD = CD.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
В На основании ВС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки М и N так, что ВМ = CN. Докажите, что:
а) треугольникВАМ = треугольникCAN;
б) треугольник AMN равнобедренный.
Задание учебника 2023 года
На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла — точки В и С такие, что уголADB = уголADC. Докажите, что BD = CD.
