Упр.1009 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти координаты векторов a + bС пояснением
Чтобы сложить векторы, складываем их соответствующие координаты:а) a + b = {3 + 2; 2 + 5} = {5; 7};
б) a + b = {3 + 1; −4 + 5} = {4; 1};
в) a + b = {−4 + 5; −2 + 3} = {1; 1};
г) a + b = {2 + (−3); 7 + (−7)} = {−1; 0}.Ответ: а) {5; 7}; б) {4; 1}; в) {1; 1}; г) {−1; 0}.
Кратко а) a + b = {3 + 2; 2 + 5} = {5; 7};
б) a + b = {3 + 1; −4 + 5} = {4; 1};
в) a + b = {−4 + 5; −2 + 3} = {1; 1};
г) a + b = {2 − 3; 7 − 7} = {−1; 0}.Ответ: а) {5; 7}; б) {4; 1}; в) {1; 1}; г) {−1; 0}.
б) a + b = {3 + 1; −4 + 5} = {4; 1};
в) a + b = {−4 + 5; −2 + 3} = {1; 1};
г) a + b = {2 + (−3); 7 + (−7)} = {−1; 0}.Ответ: а) {5; 7}; б) {4; 1}; в) {1; 1}; г) {−1; 0}.
Кратко а) a + b = {3 + 2; 2 + 5} = {5; 7};
б) a + b = {3 + 1; −4 + 5} = {4; 1};
в) a + b = {−4 + 5; −2 + 3} = {1; 1};
г) a + b = {2 − 3; 7 − 7} = {−1; 0}.Ответ: а) {5; 7}; б) {4; 1}; в) {1; 1}; г) {−1; 0}.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать формулу медианы и признак равнобедренного треугольникаС пояснением
Обозначим BC = a, AC = b, AB = c, AA₁ = mₐ. Так как AA₁ — медиана, BA₁ = CA₁ = a/2.1) Пусть ∠AA₁B = α. Тогда ∠AA₁C = 180° − α. По теореме косинусов для треугольников ABA₁ и ACA₁:
c² = mₐ² + a²/4 − amₐ cos α,
b² = mₐ² + a²/4 − amₐ cos(180° − α) = mₐ² + a²/4 + amₐ cos α.2) Сложим равенства:
b² + c² = 2mₐ² + a²/2.
Отсюда
4mₐ² = 2b² + 2c² − a²,
mₐ = 1/2√(2b² + 2c² − a²).
Следовательно,
AA₁ = 1/2√(2AC² + 2AB² − BC²).3) Пусть медианы AA₁ и BB₁ равны. По доказанной формуле:
4AA₁² = 2AC² + 2AB² − BC²,
4BB₁² = 2BC² + 2AB² − AC².
Так как AA₁ = BB₁, правые части равны:
2AC² − BC² = 2BC² − AC²,
3AC² = 3BC²,
AC = BC.
Значит, треугольник ABC равнобедренный.Ответ: AA₁ = 1/2√(2AC² + 2AB² − BC²); равенство двух медиан влечёт равенство соответствующих сторон, поэтому треугольник равнобедренный.
Кратко Пусть BC = a, AC = b, AB = c, AA₁ = mₐ. По теореме косинусов для треугольников ABA₁ и ACA₁:
c² = mₐ² + a²/4 − amₐ cos α,
b² = mₐ² + a²/4 + amₐ cos α.
Сложив равенства, получим:
4mₐ² = 2b² + 2c² − a²,
поэтому
AA₁ = 1/2√(2AC² + 2AB² − BC²).Если AA₁ = BB₁, то по этой формуле:
2AC² + 2AB² − BC² = 2BC² + 2AB² − AC².
Отсюда 3AC² = 3BC², значит, AC = BC.Ответ: формула доказана; если две медианы равны, то соответствующие стороны равны и треугольник равнобедренный.
c² = mₐ² + a²/4 − amₐ cos α,
b² = mₐ² + a²/4 − amₐ cos(180° − α) = mₐ² + a²/4 + amₐ cos α.2) Сложим равенства:
b² + c² = 2mₐ² + a²/2.
Отсюда
4mₐ² = 2b² + 2c² − a²,
mₐ = 1/2√(2b² + 2c² − a²).
Следовательно,
AA₁ = 1/2√(2AC² + 2AB² − BC²).3) Пусть медианы AA₁ и BB₁ равны. По доказанной формуле:
4AA₁² = 2AC² + 2AB² − BC²,
4BB₁² = 2BC² + 2AB² − AC².
Так как AA₁ = BB₁, правые части равны:
2AC² − BC² = 2BC² − AC²,
3AC² = 3BC²,
AC = BC.
Значит, треугольник ABC равнобедренный.Ответ: AA₁ = 1/2√(2AC² + 2AB² − BC²); равенство двух медиан влечёт равенство соответствующих сторон, поэтому треугольник равнобедренный.
Кратко Пусть BC = a, AC = b, AB = c, AA₁ = mₐ. По теореме косинусов для треугольников ABA₁ и ACA₁:
c² = mₐ² + a²/4 − amₐ cos α,
b² = mₐ² + a²/4 + amₐ cos α.
Сложив равенства, получим:
4mₐ² = 2b² + 2c² − a²,
поэтому
AA₁ = 1/2√(2AC² + 2AB² − BC²).Если AA₁ = BB₁, то по этой формуле:
2AC² + 2AB² − BC² = 2BC² + 2AB² − AC².
Отсюда 3AC² = 3BC², значит, AC = BC.Ответ: формула доказана; если две медианы равны, то соответствующие стороны равны и треугольник равнобедренный.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Найдите координаты вектора а + b, если: а) а {3; 2}, b {2; 5}; б) а {3; -4}, b {1; 5}; в) а {-4; -2}, b {5; 3}; г) а {2; 7}, b {-3; -7}.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что медиану АА1 треугольника ABC можно вычислить по формуле АА1 =1/2 корень(2АС2 + 2АВ2 - ВС2). Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
