Упр.696 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2021)
Решение #3(Учебник 2021)
Решение #4 (Учебник 2021)ИИ
Варианты решения:
Докажите делимость суммы кубов на 9С пояснением
Поскольку числа последовательные и ни одно из них не кратно 3, их можно записать как 3k + 1 и 3k + 2, где k — целое неотрицательное число.
По формуле суммы кубов:
Полученное выражение делится на 9.
Ответ: сумма кубов делится на 9.
Кратко Пусть числа равны 3k + 1 и 3k + 2, где k — целое неотрицательное число. По формуле суммы кубов:
\((3k + 1)^3 + (3k + 2)^3 = (6k + 3)(9k^2 + 9k + 3) = 9(2k + 1)(3k^2 + 3k + 1)\).
Ответ: сумма делится на 9.
По формуле суммы кубов:
\((3k + 1)^3 + (3k + 2)^3 = (6k + 3)((3k + 1)^2 - (3k + 1)(3k + 2) + (3k + 2)^2) =\)
\(= 3(2k + 1)(9k^2 + 9k + 3) = 9(2k + 1)(3k^2 + 3k + 1)\).Полученное выражение делится на 9.
Ответ: сумма кубов делится на 9.
Кратко Пусть числа равны 3k + 1 и 3k + 2, где k — целое неотрицательное число. По формуле суммы кубов:
\((3k + 1)^3 + (3k + 2)^3 = (6k + 3)(9k^2 + 9k + 3) = 9(2k + 1)(3k^2 + 3k + 1)\).
Ответ: сумма делится на 9.
Если два последовательных натуральных числа не делятся на 3, то меньшее из них при делении на 9 даёт остаток 1, 4 или 7. Поэтому остатки пары имеют один из видов: 1 и 2; 4 и 5; 7 и 8.Если число имеет вид 9q+r, то
\((9q+r)^3 = 729q^3+243q^2r+27qr^2+r^3\).
Все слагаемые, кроме \(r^3\), делятся на 9. Значит, куб числа и \(r^3\) дают одинаковые остатки при делении на 9.Проверим три возможные пары остатков:
\(1^3+2^3=1+8=9\);
\(4^3+5^3=64+125=189=9\cdot21\);
\(7^3+8^3=343+512=855=9\cdot95\).Во всех случаях сумма кубов делится на 9. Что и требовалось доказать.
\((9q+r)^3 = 729q^3+243q^2r+27qr^2+r^3\).
Все слагаемые, кроме \(r^3\), делятся на 9. Значит, куб числа и \(r^3\) дают одинаковые остатки при делении на 9.Проверим три возможные пары остатков:
\(1^3+2^3=1+8=9\);
\(4^3+5^3=64+125=189=9\cdot21\);
\(7^3+8^3=343+512=855=9\cdot95\).Во всех случаях сумма кубов делится на 9. Что и требовалось доказать.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Представьте в виде многочлена выражение:
1) (3a - 2)^2; 5) (3a + 1/3 b)^2; 9) (a^3 - 4b)^2;
2) (7b + 6)^2; 6) (b^2 - 11)^2; 10) (a^2 + a)^2;
3) (8x + 4y)^2; 7) (a^2 + 4b)^2; 11) (3b^2 - 2b^5)^2;
4) (0,4m - 0,5n)^2; 8) (x^2 + y^3)^2; 12) (1 1/7 ab - 7/8 c)^2.
Задание учебника 2021 года
Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.
