Упр.695 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2021)
Решение #3(Учебник 2021)
Решение #4 (Учебник 2021)ИИ
Варианты решения:
Докажите делимость суммы кубов на 4С пояснением
Пусть два последовательных нечётных натуральных числа равны 2n + 1 и 2n + 3, где n — целое неотрицательное число. Их сумма равна 4n + 4, то есть делится на 4.
По формуле суммы кубов:
\((2n + 1)^3 + (2n + 3)^3 = (4n + 4)((2n + 1)^2 − (2n + 1)(2n + 3) + (2n + 3)^2)\).
Первый множитель делится на 4, а второй является целым числом. Значит, всё произведение делится на 4.
Ответ: сумма кубов делится на 4.
Кратко Пусть числа равны 2n + 1 и 2n + 3, где n — целое неотрицательное число. По формуле суммы кубов:
\((2n + 1)^3 + (2n + 3)^3 = 4(n + 1)((2n + 1)^2 − (2n + 1)(2n + 3) + (2n + 3)^2)\).
Выражение в скобках — целое число, поэтому сумма делится на 4.
Ответ: сумма кубов делится на 4.
По формуле суммы кубов:
\((2n + 1)^3 + (2n + 3)^3 = (4n + 4)((2n + 1)^2 − (2n + 1)(2n + 3) + (2n + 3)^2)\).
Первый множитель делится на 4, а второй является целым числом. Значит, всё произведение делится на 4.
Ответ: сумма кубов делится на 4.
Кратко Пусть числа равны 2n + 1 и 2n + 3, где n — целое неотрицательное число. По формуле суммы кубов:
\((2n + 1)^3 + (2n + 3)^3 = 4(n + 1)((2n + 1)^2 − (2n + 1)(2n + 3) + (2n + 3)^2)\).
Выражение в скобках — целое число, поэтому сумма делится на 4.
Ответ: сумма кубов делится на 4.
Любое нечётное натуральное число при делении на 4 даёт остаток 1 или 3. У двух последовательных нечётных чисел эти остатки различны, поэтому числа можно записать в некотором порядке как 4k + 1 и 4m + 3.\((4k + 1)^3 = 4(16k^3 + 12k^2 + 3k) + 1\),
\((4m + 3)^3 = 4(16m^3 + 36m^2 + 27m + 6) + 3\).Следовательно, сумма их кубов равна
\(4(16k^3 + 12k^2 + 3k + 16m^3 + 36m^2 + 27m + 6) + 4\),
то есть делится на 4. Что и требовалось доказать.
\((4m + 3)^3 = 4(16m^3 + 36m^2 + 27m + 6) + 3\).Следовательно, сумма их кубов равна
\(4(16k^3 + 12k^2 + 3k + 16m^3 + 36m^2 + 27m + 6) + 4\),
то есть делится на 4. Что и требовалось доказать.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Завершите возведение двучлена в квадрат:
1) (ab - 9)^2;
2) (4а^2 + а^3)^2.
Задание учебника 2021 года
Докажите, что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.
