Упр.5.19 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Решение #2
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение:
19. Докажите, что в любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
Доказать: в любой треугольник можно вписать окружность, и только
одну;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник;
2) Проведем биссектрисы углов A и B они пересекутся в некоторой
точке O, тогда угол CAO = углу OAB и угол CBO = углу OBA;
3) Из точки O опустим перпендикуляры OA1, OB1 и OC1 на стороны
треугольника ABC;
4) Прямоугольные треугольники AOB1 и AOC1 равны по гипотенузе
и острому углу (AO-общая гипотенуза), отсюда OB1=OC1;
5) Прямоугольные треугольники BOA1 и BOC1 равны по гипотенузе
и острому углу (BO-общая гипотенуза), отсюда OC1=OA1;
6) Таким образом, точки A1, B1 и C1 равноудалены от точки O, значит
они принадлежат одной окружности, а стороны треугольника ABC
являются касательными к этой окружности, то есть в треугольник
ABC можно вписать окружность;
7) Прямоугольные треугольники COB1 и COA1 равны по катету и
гипотенузе (CO-общая гипотенуза), отсюда угол B1 CO = углу A1 CO, то есть
точка O лежит на биссектрисе угла C;
8) Таким образом, все биссектрисы треугольника пересекаются в одной
точке, а так как центр вписанной окружности является точкой пере-
сечения биссектрис треугольника, то он может быть только один, что
и требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
