Упр.5.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение:
16. 1) Из одной точки проведены две касательные к окружности (рис. 108). Докажите, что отрезки касательных МР и MQ равны.
2) Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.
I) Отобразим условие задачи:
Дано: из точки M проведены две касательные MP и MQ;
Доказать: отрезки MP и MQ равны;
Доказательство:
1) Так как MP и MQ касательные к окружности: угол OQM = углу OPM=90°;
2) Отрезки OP и OQ равны как радиусы одной окружности;
3) Прямоугольные треугольники OQM и OPM равны по катету и
гипотенузе (OM-общая гипотенуза), отсюда MP=MQ, что и
требовалось доказать.
II)
Доказать: через одну точку не может проходить больше двух
касательных к окружности;
Доказательство:
1) Пусть даны окружность с центром в точке O1 и точка M, лежащая
вне этой окружности;
2) Допустим, что через точку M проходит три прямых, касающихся
окружности в точках A, B и C, тогда согласно пункту I этой задачи:
AM=BM=MC;
3) Значит точки A, B и C лежат на одной окружности с центром в
точке M, но две окружности не могут иметь более двух точек
пересечения (задача 14 пункт II), значит допущение неверно и через
одну точку можно провести не более двух касательных к окружности,
что и требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением