Упр.5.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение:
15. 1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на данную прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС, равный отрезку АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности.
2) Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке.
3) Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке.
I) Отобразим услоие задачи:
Дано: через точку A окружности проведена прямая, не касающаяся
окружности, OB-перпендикуляр, опущенный на данную прямую,
на продолжении AB отложен отрезок BC=AB;
Доказать: точка C лежит на окружности;
Доказательство:
1) Отрезок OB перпендикулярен отрезку AC, значит он является
высотой треугольника AOC;
2) AB=BC, значит отрезок OB является медианой треугольника AOC;
3) Так как в треугольнике AOC высота и медиана совпадают, то он
является равнобедренным, значит AO=OC;
4) Точка C удалена от центра окружности также, как и точка A,
лежащая на окружности, значит точка C также лежит на окружности,
что и требовалось доказать.
II)
Доказать: если прямая имеет с окружностью только одну общую точку,
то она является касательной к окружности в этой точке;
Доказательство:
1) Пусть дана окружность с центром в точке O и прямая, которая имеет с
окружностью общую точку A;
2) Допустим, что прямая не является касательной к окружности, значит
они не перпендикулярны, тогда к ней можно провести перпендикуляр OB,
не совпадающий с отрезком OA, а на продолжении отрезка AB отложить
отрезок BC=AB;
3) Тогда согласно пункту I этой задачи, прямая имеет с окружностью еще
одну общую точку C, что противоречит условию задачи, следовательно
предположение неверно и прямая является касательной к окружности в
точке A, что и требовалось доказать.
III) Отобразим условие задачи.
Доказать: если две окружности имеют только одну общую точку, то они
касаются в этой точке;
Доказательство:
1) Пусть окружности с центрами в точках O и O1 имеют общую точку A;
2) Допустим, что точки O, A и O1 не лежат на одной прямой, тогда можно
построить треугольник OA1 O1, так чтобы точки A и A1 лежали по разные
стороны от прямой OO1;
3) Так как треугольник OA1 O1=треугольник OAO1, то OA1=OA и O1 A1=O1 A, то есть точка A1
лежит на обеих окружностях, то есть является их пересечением, что
противоречит условию задачи, значит допущение неверно и точки
O, A и O1 лежат на одной прямой;
4) Тогда к прямой OO1 в точке A можно построить перпендикулярную
прямую, то есть общую касательную к обеим окружностям, значит
данные окружности касаются в точке A, что и требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
