Упр.1209 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Найди двузначные числа по условиюС пояснением
Пусть x — цифра десятков, y — цифра единиц. Тогда число равно 10x + y. По условию:
10x + y = 4(x + y);
6x = 3y;
y = 2x.
Так как x и y — цифры, причём x ≠ 0, получаем: x = 1, 2, 3 или 4. Соответствующие значения y: 2, 4, 6 или 8.
Ответ: 12, 24, 36, 48.
Кратко Пусть x — цифра десятков, y — цифра единиц. Тогда:
10x + y = 4(x + y);
6x = 3y, y = 2x.
x = 1, 2, 3, 4; соответственно y = 2, 4, 6, 8.
Ответ: 12, 24, 36, 48.
10x + y = 4(x + y);
6x = 3y;
y = 2x.
Так как x и y — цифры, причём x ≠ 0, получаем: x = 1, 2, 3 или 4. Соответствующие значения y: 2, 4, 6 или 8.
Ответ: 12, 24, 36, 48.
Кратко Пусть x — цифра десятков, y — цифра единиц. Тогда:
10x + y = 4(x + y);
6x = 3y, y = 2x.
x = 1, 2, 3, 4; соответственно y = 2, 4, 6, 8.
Ответ: 12, 24, 36, 48.
Обозначим сумму цифр числа через S. Само число равно 4S. Число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 9, поэтому \(4S-S=3S\) делится на 9. Значит, S делится на 3.У двузначного числа сумма цифр не больше 18. Кроме того, 4S должно быть двузначным, поэтому \(S\ge 3\). Следовательно, S может равняться 3, 6, 9, 12, 15 или 18.Получаем возможные числа: 12, 24, 36, 48, 60, 72. Проверим суммы цифр:
\(1+2=3\), \(2+4=6\), \(3+6=9\), \(4+8=12\) — подходят;
\(6+0=6\ne 15\), \(7+2=9\ne 18\) — не подходят.Ответ: 12, 24, 36, 48.
\(1+2=3\), \(2+4=6\), \(3+6=9\), \(4+8=12\) — подходят;
\(6+0=6\ne 15\), \(7+2=9\ne 18\) — не подходят.Ответ: 12, 24, 36, 48.
Решение #4(Учебник 2019)
Решение #5(Учебник 2019)
Решение #6 (Учебник 2019)ИИ
Варианты решения:
Докажите делимость \(p^2 - 1\) на 24С пояснением
Разложим выражение на множители: \(p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)\).
Число p нечётное, так как оно простое и больше 3. Поэтому p − 1 и p + 1 — два соседних чётных числа. Одно из них делится на 4, а другое — на 2, значит, их произведение делится на 8.
Среди трёх последовательных чисел p − 1, p, p + 1 одно делится на 3. Простое число p больше 3 не делится на 3, поэтому на 3 делится один из множителей p − 1 или p + 1.
Произведение делится на 8 и на 3. Числа 8 и 3 взаимно просты, значит, произведение делится на 24.
Ответ: \(p^2 - 1\) кратно 24.
Кратко \(p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)\). Число \(p\) нечётное, поэтому среди двух соседних чётных чисел \(p - 1\) и \(p + 1\) одно делится на 4, а другое — на 2. Значит, их произведение делится на 8.
Одно из чисел p − 1, p, p + 1 делится на 3. Так как простое число p > 3 не делится на 3, произведение (p − 1)(p + 1) делится на 3. Числа 8 и 3 взаимно просты, поэтому произведение делится на 24.
Ответ: \(p^2 - 1\) кратно 24.
Число p нечётное, так как оно простое и больше 3. Поэтому p − 1 и p + 1 — два соседних чётных числа. Одно из них делится на 4, а другое — на 2, значит, их произведение делится на 8.
Среди трёх последовательных чисел p − 1, p, p + 1 одно делится на 3. Простое число p больше 3 не делится на 3, поэтому на 3 делится один из множителей p − 1 или p + 1.
Произведение делится на 8 и на 3. Числа 8 и 3 взаимно просты, значит, произведение делится на 24.
Ответ: \(p^2 - 1\) кратно 24.
Кратко \(p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)\). Число \(p\) нечётное, поэтому среди двух соседних чётных чисел \(p - 1\) и \(p + 1\) одно делится на 4, а другое — на 2. Значит, их произведение делится на 8.
Одно из чисел p − 1, p, p + 1 делится на 3. Так как простое число p > 3 не делится на 3, произведение (p − 1)(p + 1) делится на 3. Числа 8 и 3 взаимно просты, поэтому произведение делится на 24.
Ответ: \(p^2 - 1\) кратно 24.
Любое целое число при делении на 6 имеет остаток 0, 1, 2, 3, 4 или 5. Простое число p > 3 не делится на 2 и на 3, поэтому оно имеет вид \(p = 6k + 1\) или \(p = 6k − 1\).Если \(p = 6k + 1\), то
\[p^2 - 1 = (6k + 1)^2 - 1 = 36k^2 + 12k = 12k(3k + 1).\]
Произведение \(k(3k + 1)\) чётно: если \(k\) чётно, это очевидно; если \(k\) нечётно, то \(3k + 1\) чётно. Следовательно, \(p^2 − 1\) делится на \(12 \cdot 2 = 24\).Если \(p = 6k − 1\), то\[p^2 - 1 = (6k - 1)^2 - 1 = 36k^2 - 12k = 12k(3k - 1).\]
Произведение \(k(3k − 1)\) также чётно: если \(k\) чётно, это очевидно; если \(k\) нечётно, то \(3k − 1\) чётно. Поэтому и в этом случае \(p^2 − 1\) делится на 24.Значит, для любого простого числа \(p > 3\) число \(p^2 − 1\) кратно 24.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Какое двузначное число в 4 раза больше суммы его цифр?
Задание учебника 2019 года
Докажите, что р2 - 1 кратно 24, если р — простое число, большее 3.
p^2-1=(p-1)(p+1)
Так как числа p,p+1,p-1 – это три последовательных числа, то какое-то из трёх чисел кратно 2, а какое-то из них кратно 3.
Если p – простое число, то числа p+1 и p-1 кратны 2 и 3.
Значит, их произведение кратно 6.
Так как p – простое число большее 3, то оно не чётное.
Значит, числа p+1 и p-1 кратны 2, а их произведение кратно 4.
Так как произведение (p+1)(p-1) кратно 6 и 4, значит p^2-1 кратно 24.
Что и требовалось доказать.
