Упр.1212 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Найдите двузначное числоС пояснением
Пусть x — первоначальное двузначное число. После приписывания единиц получится число \(1000 + 10x + 1 = 1001 + 10x\). По условию оно в 23 раза больше первоначального:
1001 + 10x = 23x;
13x = 1001;
x = 77.
Ответ: 77.
Кратко Пусть x — первоначальное число. Тогда полученное число равно 1001 + 10x.
1001 + 10x = 23x;
13x = 1001;
x = 77.
Ответ: 77.
1001 + 10x = 23x;
13x = 1001;
x = 77.
Ответ: 77.
Кратко Пусть x — первоначальное число. Тогда полученное число равно 1001 + 10x.
1001 + 10x = 23x;
13x = 1001;
x = 77.
Ответ: 77.
Обозначим цифру десятков через a, а цифру единиц через b. При умножении исходного числа на 23 получается четырёхзначное число с цифрами 1, a, b, 1.Рассмотрим умножение по разрядам.В разряде единиц произведение 3b оканчивается цифрой 1. Единственная подходящая цифра — b = 7, так как \(3 \cdot 7 = 21\). В следующий разряд переносится 2.В разряде десятков получаем \(3a + 2b + 2\). При b = 7 это 3a + 16. Результат должен оканчиваться цифрой b = 7. Единственная подходящая цифра десятков — \(a = 7\), поскольку \(3 \cdot 7 + 16 = 37\).Проверка оставшихся разрядов: \(2 \cdot 7 + 3 = 17\), поэтому в разряде сотен получается 7, а в разряде тысяч — 1. Значит,
\(23 \cdot 77 = 1771\).Ответ: 77.
\(23 \cdot 77 = 1771\).Ответ: 77.
Решение #4(Учебник 2019)
Решение #5(Учебник 2019)
Решение #6 (Учебник 2019)ИИ
Варианты решения:
Докажите делимость разности на 3С пояснением
Пусть n — натуральное число, не кратное 3. При делении на 3 оно даёт остаток 1 или 2, поэтому \(n = 3k + 1\) или \(n = 3k + 2\), где k — целое неотрицательное число.
1) Если \(n = 3k + 1\), то n² − 1 = 9k² + 6k = 3(3k² + 2k), то есть разность кратна 3.
2) Если \(n = 3k + 2\), то n² − 1 = 9k² + 12k + 3 = 3(3k² + 4k + 1), то есть разность также кратна 3.
Ответ: \(n^2 − 1\) кратно 3.
Кратко Пусть \(n = 3k + 1\) или \(n = 3k + 2\), где k — целое неотрицательное число.
Если \(n = 3k + 1\), то n² − 1 = 3(3k² + 2k).
Если \(n = 3k + 2\), то n² − 1 = 3(3k² + 4k + 1).
Ответ: в обоих случаях \(n^2 − 1\) кратно 3.
1) Если \(n = 3k + 1\), то n² − 1 = 9k² + 6k = 3(3k² + 2k), то есть разность кратна 3.
2) Если \(n = 3k + 2\), то n² − 1 = 9k² + 12k + 3 = 3(3k² + 4k + 1), то есть разность также кратна 3.
Ответ: \(n^2 − 1\) кратно 3.
Кратко Пусть \(n = 3k + 1\) или \(n = 3k + 2\), где k — целое неотрицательное число.
Если \(n = 3k + 1\), то n² − 1 = 3(3k² + 2k).
Если \(n = 3k + 2\), то n² − 1 = 3(3k² + 4k + 1).
Ответ: в обоих случаях \(n^2 − 1\) кратно 3.
Разложим разность квадратов:
\[n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1).\]
Числа n − 1, n и n + 1 — три последовательных числа, поэтому одно из них кратно 3. По условию n не кратно 3, значит, на 3 делится либо n − 1, либо n + 1. Следовательно, произведение (n − 1)(n + 1) кратно 3.Значит, \(n^2-1\) кратно 3.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число, в 23 раза большее первоначального. Найдите это двузначное число.
Задание учебника 2019 года
Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.
Пусть натуральное число, не кратное 3, будет n.
Тогда, при делении на 3 получаем остаток 1 или 2.
Если остаток равен 1, то
(3n+1)^2-1=9n^2+6n+1-1=9n^2+6n=3•(3n^2+2n).
Так как один из множителей число 3, значит выражение кратно 3.
Если остаток равен 2, то
(3n+2)^2-1=9n^2+12n+4-1=9n^2+12n+3=
=3•(3n^2+4n+1).
Так как один из множителей число 3, значит выражение кратно 3.
Таким образом, разность между квадратом натурального числа, не кратного трём, и числом 1 кратна 3.
Что и требовалось доказать.
