Упр.1211 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Докажите свойство остатка при делении на 30С пояснением
1) Простые числа 2, 3 и 5 меньше 30, поэтому при делении на 30 каждое из них даёт в остатке само себя.2) Пусть простое число p больше 5. Тогда p не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Запишем p = 30q + r, где r — остаток от деления на 30. Поскольку 30q делится на 2, 3 и 5, остаток r тоже не может делиться ни на одно из этих чисел.3) Среди чисел от 0 до 29 этому условию удовлетворяют только 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29. Все они, кроме единицы, являются простыми.Ответ: остаток равен единице или простому числу.
Кратко Простые числа 2, 3 и 5 при делении на 30 дают в остатке сами себя.Пусть простое число p > 5 и p = 30q + r. Число p не делится на 2, 3 и 5, поэтому остаток r тоже не делится на них. Среди чисел от 0 до 29 это только 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29. Все они, кроме единицы, простые.Ответ: остаток равен единице или простому числу.
Кратко Простые числа 2, 3 и 5 при делении на 30 дают в остатке сами себя.Пусть простое число p > 5 и p = 30q + r. Число p не делится на 2, 3 и 5, поэтому остаток r тоже не делится на них. Среди чисел от 0 до 29 это только 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29. Все они, кроме единицы, простые.Ответ: остаток равен единице или простому числу.
Простые числа 2, 3 и 5 при делении на 30 дают остатки 2, 3 и 5.Пусть простое число \(p > 5\) и \(p = 30q + r\), где \(0 \le r < 30\). Остаток r не равен 0, иначе p делилось бы на 30.Предположим, что r не является ни единицей, ни простым числом. Тогда r — составное число, поэтому \(r = ab\), где \(a > 1\) и \(b > 1\). Оба множителя не могут быть больше 5, иначе \(r = ab \ge 6\cdot 6 = 36\), но \(r < 30\). Значит, один из множителей не превосходит 5 и имеет простой делитель 2, 3 или 5. Следовательно, r делится хотя бы на одно из чисел 2, 3, 5.Число 30q также делится на 2, 3 и 5. Поэтому \(p = 30q + r\) делится на то же число 2, 3 или 5. Но p > 5 и является простым — получили противоречие.Значит, остаток r равен 1 или является простым числом.
Решение #4(Учебник 2019)
Решение #5(Учебник 2019)
Решение #6 (Учебник 2019)ИИ
Варианты решения:
Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является квадратомС пояснением
Пусть среднее из пяти чисел равно n. Сумма их квадратов равна
Кратко Пусть среднее число равно n. Тогда сумма квадратов равна \(5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2)\).Если она равна \(m^2\), то \(m\) делится на 5, а \(m^2\) делится на 25. Значит, \(n^2 + 2\) делится на 5. Но остаток квадрата \(n^2\) при делении на 5 равен 0, 1 или 4, поэтому \(n^2 + 2\) на 5 не делится. Получили противоречие.Ответ: сумма не может быть квадратом натурального числа.
\[(n - 2)^2 + (n - 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = 5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2).\]
Предположим, что эта сумма равна квадрату натурального числа \(m\). Тогда \(m^2\) делится на 5, поэтому и \(m\) делится на 5. Значит, \(m^2\) делится на 25, а число \(n^2 + 2\) должно делиться на 5.Но квадрат целого числа при делении на 5 может давать только остатки 0, 1 или 4. Поэтому \(n^2 + 2\) может давать остатки 2, 3 или 1, но не 0. Получили противоречие.Ответ: сумма не может быть квадратом натурального числа.Кратко Пусть среднее число равно n. Тогда сумма квадратов равна \(5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2)\).Если она равна \(m^2\), то \(m\) делится на 5, а \(m^2\) делится на 25. Значит, \(n^2 + 2\) делится на 5. Но остаток квадрата \(n^2\) при делении на 5 равен 0, 1 или 4, поэтому \(n^2 + 2\) на 5 не делится. Получили противоречие.Ответ: сумма не может быть квадратом натурального числа.
Квадрат чётного числа делится на 4, а квадрат нечётного числа при делении на 4 даёт остаток 1.Среди пяти последовательных натуральных чисел либо два нечётных числа, либо три. Поэтому сумма их квадратов при делении на 4 даёт соответственно остаток 2 или 3.Но квадрат любого натурального числа при делении на 4 может давать только остаток 0 или 1. Следовательно, сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 есть простое число или единица.
Пусть простое число будет a, частное от деления числа a на 30 будет b, а остаток c.
Тогда, a=30b+c, где c < 30.
a=30b+c=2•3•5•b+c
Остаток c не может быть чётным числом, так как в таком случае a будет чётным, а значит составным числом, что противоречит условию.
Если c кратно 3, то c=3n. Тогда, a=30b+3n=3•(10b+n).
Так как a получается составное число, то остаток не может быть кратным 3.
Если c кратно 5, то c=5n. Тогда, a=30b+5n=5•(6b+n). Так как a получается составное число, то остаток не может быть кратным 3.
Тогда, c=1,7,11,13,17,19,23,29.
Таким образом, остаток от деления простого числа на 30 есть простое число или 1.
Задание учебника 2019 года
Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
