Упр.1210 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3(Учебник 2019)
Решение #4(Учебник 2019)
Решение #5 (Учебник 2019)ИИ
Варианты решения:
Докажите утверждение об остатке разности кубовС пояснением
Пусть n и n + 1 — последовательные натуральные числа. Тогда
Ответ: остаток равен 1.
Кратко Пусть числа равны n и n + 1. Тогда
Ответ: остаток равен 1.
\[(n + 1)^3 - n^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 3n(n + 1) + 1.\]
Одно из последовательных чисел n и n + 1 чётное, поэтому их произведение делится на 2. Значит, 3n(n + 1) делится на 6, а выражение 3n(n + 1) + 1 при делении на 6 даёт остаток 1.Ответ: остаток равен 1.
Кратко Пусть числа равны n и n + 1. Тогда
\[(n + 1)^3 - n^3 = 3n(n + 1) + 1.\]
Произведение n(n + 1) делится на 2, поэтому 3n(n + 1) делится на 6.Ответ: остаток равен 1.
Для любого натурального числа k разность
\[k^3-k=k(k-1)(k+1).\]
Это произведение трёх последовательных целых чисел. Среди них одно обязательно делится на 3, а хотя бы одно — на 2. Поэтому \(k^3-k\) делится на 6, то есть \(k^3=6m+k\) для некоторого целого m.Пусть два последовательных натуральных числа равны n и n + 1. Тогда\[n^3=6a+n,\]
\[(n+1)^3=6b+n+1\]
для некоторых целых a и b. Следовательно,\[(n+1)^3-n^3=6(b-a)+1.\]
Значит, разность кубов при делении на 6 даёт остаток 1.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Делится ли число 111...1 на 81?
Задание учебника 2019 года
Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.
Пусть два последовательных натуральных числа будут равны n и n+1.
Тогда, (n+1)^3-n^3=n^3+3n^2+3n+1-n^3=3n^2+3n+1=3•(n^2+n)+1.
Если n – чётное, то значение выражения n^2+n чётное.
Если n – нечётное, то значение выражения n^2+n тоже будет чётным, так как сумма двух нечётных чисел будет чётной.
Так как значение выражения n^2+n делится на 2, то значение выражения 3•(n^2+n) кратно 6.
Соответственно, (n+1)^3-n^3 при делении на 6 даёт остаток 1.
Что и требовалось доказать.
