Упр.669 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Перейти к решению:#1(2026)#2(2024)#3(2024)#4(2024) ИИ

Решение #1(Учебник 2026)

Изображение 669 Пусть (un) — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. u1 = 1, u2 = 1, un+2 = un + un+1 при n > 2. Докажите,...

Решение #2(Учебник 2024)

Решение #3(Учебник 2024)

Решение #4 (Учебник 2024)ИИ

Докажите свойства чисел ФибоначчиС пояснением В условии, вероятно, опечатка: рекуррентное соотношение должно выполняться при n ≥ 1. При записанном ограничении n > 2 свойства не обязательно верны: например, можно взять \(u_3 = u_4 = u_5 = \ldots = 0\).Докажем свойства для обычной последовательности Фибоначчи, где соотношение выполняется при n ≥ 1.а) При n = 1 имеем \(u_1 = u_2 = 1\). Предположим, что u₁ + u₃ + … + u₂ₙ₋₁ = u₂ₙ. Тогда для следующего значения n:
u₁ + u₃ + … + u₂ₙ₋₁ + u₂ₙ₊₁ = u₂ₙ + u₂ₙ₊₁ = u₂ₙ₊₂.б) При n = 1 имеем \(u_1^2 = u_1u_2 = 1\). Предположим, что u₁² + u₂² + … + uₙ² = uₙuₙ₊₁. Тогда:
u₁² + … + uₙ² + uₙ₊₁² = uₙuₙ₊₁ + uₙ₊₁² = uₙ₊₁(uₙ + uₙ₊₁) = uₙ₊₁uₙ₊₂.Ответ: оба свойства доказаны при исправленном условии n ≥ 1.
Кратко При n > 2 утверждения неверны: например, условиям удовлетворяет последовательность 1, 1, 0, 0, 0, … . При n = 2 оба равенства нарушаются.Для последовательности Фибоначчи рекуррентное соотношение должно выполняться при n ≥ 1. Докажем свойства индукцией.а) При n = 1: \(u_1 = u_2 = 1\). Если сумма до u₂ₙ₋₁ равна u₂ₙ, то при добавлении u₂ₙ₊₁ она равна u₂ₙ + u₂ₙ₊₁ = u₂ₙ₊₂.б) При n = 1: \(u_1^2 = u_1u_2 = 1\). Если сумма квадратов до uₙ² равна uₙuₙ₊₁, то при добавлении uₙ₊₁² она равна uₙ₊₁(uₙ + uₙ₊₁) = uₙ₊₁uₙ₊₂.Ответ: при n ≥ 1 оба свойства доказаны.

Разбор подготовлен с помощью ИИ. Несмотря на проверку, возможны неточности.

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:

Задание учебника 2026 года

Последовательность (x_n) — геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

а) x_1 + 1; x_2 + 1; ...; x_n + 1; ...;

б) 3x_1; 3x_2; ...; 3x_n; ...;

в) x_1^2; x_2^2; ...; x_n^2; ...;

г) 1/x_1; 1/x_2; ...; 1/x_n; ...?

Задание учебника 2024 года

Пусть (un) — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. u1 = 1, u2 = 1, un+2 = un + un+1 при n > 2. Докажите, что эта последовательность обладает следующим свойством:

а) u1 + u3 + u5 + ... + u2n-1 = u2n;

б) u 2/1 + u 2/2 + u2/3 + ... + u 2/n = un * un+1.

*Текст задания приводится исключительно в образовательных целях для более полного понимания решения.