Упр.674 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3(Учебник 2026)
Решение #4 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Докажите свойства геометрической прогрессии и приведите примерыС пояснением
Для любого n ≥ 1 имеем bₙ = \(b_1\)qⁿ⁻¹ и bₙ₊₁ − bₙ = bₙ(q − 1). Во всех случаях \(q > 0\), поэтому bₙ имеет тот же знак, что и \(b_1\).а) \(b_n > 0\) и \(q - 1 > 0\), поэтому bₙ₊₁ − \(b_n > 0\). Значит, bₙ₊₁ > bₙ. Пример: \(1, 2, 4, 8, \ldots\) (\(q = 2\)).б) \(b_n > 0\) и \(q - 1 < 0\), поэтому bₙ₊₁ − \(b_n < 0\). Значит, bₙ₊₁ < bₙ. Пример: \(8, 4, 2, 1, \ldots\) (\(q = 1/2\)).в) \(b_n < 0\) и \(q - 1 > 0\), поэтому bₙ₊₁ − \(b_n < 0\). Значит, bₙ₊₁ < bₙ. Пример: \(-1, -2, -4, -8, \ldots\) (\(q = 2\)).г) \(b_n < 0\) и \(q - 1 < 0\), поэтому bₙ₊₁ − \(b_n > 0\). Значит, bₙ₊₁ > bₙ. Пример: \(-8, -4, -2, -1, \ldots\) (\(q = 1/2\)).Ответ: в случаях а) и г) каждый следующий член больше предыдущего, в случаях б) и в) — меньше.
Кратко bₙ₊₁ − bₙ = bₙ(q − 1). Так как \(q > 0\), знак bₙ совпадает со знаком \(b_1\).а) \(b_n > 0\), \(q - 1 > 0\), значит, bₙ₊₁ > bₙ. Пример: 1, 2, 4, … (q = 2).
б) \(b_n > 0\), \(q - 1 < 0\), значит, bₙ₊₁ < bₙ. Пример: 8, 4, 2, … (\(q = 1/2\)).
в) \(b_n < 0\), \(q - 1 > 0\), значит, bₙ₊₁ < bₙ. Пример: −1, −2, −4, … (q = 2).
г) \(b_n < 0\), \(q - 1 < 0\), значит, bₙ₊₁ > bₙ. Пример: −8, −4, −2, … (\(q = 1/2\)).Ответ: а), г) — каждый следующий член больше предыдущего; б), в) — меньше.
Кратко bₙ₊₁ − bₙ = bₙ(q − 1). Так как \(q > 0\), знак bₙ совпадает со знаком \(b_1\).а) \(b_n > 0\), \(q - 1 > 0\), значит, bₙ₊₁ > bₙ. Пример: 1, 2, 4, … (q = 2).
б) \(b_n > 0\), \(q - 1 < 0\), значит, bₙ₊₁ < bₙ. Пример: 8, 4, 2, … (\(q = 1/2\)).
в) \(b_n < 0\), \(q - 1 > 0\), значит, bₙ₊₁ < bₙ. Пример: −1, −2, −4, … (q = 2).
г) \(b_n < 0\), \(q - 1 < 0\), значит, bₙ₊₁ > bₙ. Пример: −8, −4, −2, … (\(q = 1/2\)).Ответ: а), г) — каждый следующий член больше предыдущего; б), в) — меньше.
Так как \(q>0\), все члены прогрессии имеют тот же знак, что и \(b_1\).а) \(b_1>0\), значит, \(b_n>0\). Из \(q>1\) получаем \(qb_n>b_n\). Но qbₙ=bₙ₊₁, поэтому bₙ₊₁>bₙ. Пример: \(1, 2, 4, 8, \ldots\) при \(q=2\).б) \(b_1>0\), значит, \(b_n>0\). Из \(0<q<1\) получаем \(qb_n<b_n\). Следовательно, bₙ₊₁<bₙ. Пример: \(8, 4, 2, 1, \ldots\) при \(q=1/2\).в) \(b_1<0\), значит, \(b_n<0\). Умножим неравенство \(q>1\) на отрицательное число \(b_n\); знак неравенства изменится: \(qb_n<b_n\). Следовательно, bₙ₊₁<bₙ. Пример: \(-1, -2, -4, -8, \ldots\) при \(q=2\).г) \(b_1<0\), значит, \(b_n<0\). Умножим неравенство \(q<1\) на отрицательное число \(b_n\); знак неравенства изменится: \(qb_n>b_n\). Следовательно, bₙ₊₁>bₙ. Пример: \(-8, -4, -2, -1, \ldots\) при \(q=1/2\).
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Решение #7(Учебник 2024)
Решение #8 (Учебник 2024)ИИ
Найти стороны треугольника в арифметической прогрессииС пояснением
Пусть стороны треугольника равны a − d, a и a + d, где \(d \ge 0\). По условию периметр равен 24 см:
По неравенству треугольника сумма двух меньших сторон больше третьей:
\((8 - d) + 8 > 8 + d\),
\(8 > 2d, d < 4\).
Если длины сторон целые, то d — целое число. Поэтому \(d = 0, 1, 2\) или \(3\).
Ответ: одна из сторон равна 8 см; целочисленные длины сторон: 8, 8, 8; 7, 8, 9; 6, 8, 10; 5, 8, 11 см.
Кратко Пусть стороны равны a − d, a и a + d, где \(d \ge 0\). Тогда \(3a = 24\), откуда \(a = 8\).
По неравенству треугольника: \((8 − d) + 8 > 8 + d\), поэтому \(d < 4\). Для целых сторон \(d = 0, 1, 2\) или \(3\).
Ответ: средняя сторона равна 8 см; целочисленные тройки сторон: (8, 8, 8), (7, 8, 9), (6, 8, 10), (5, 8, 11) см.
\[(a-d)+a+(a+d)=24,\]
\[3a=24,\]
\[a=8.\] Значит, средняя сторона равна 8 см.По неравенству треугольника сумма двух меньших сторон больше третьей:
\((8 - d) + 8 > 8 + d\),
\(8 > 2d, d < 4\).
Если длины сторон целые, то d — целое число. Поэтому \(d = 0, 1, 2\) или \(3\).
Ответ: одна из сторон равна 8 см; целочисленные длины сторон: 8, 8, 8; 7, 8, 9; 6, 8, 10; 5, 8, 11 см.
Кратко Пусть стороны равны a − d, a и a + d, где \(d \ge 0\). Тогда \(3a = 24\), откуда \(a = 8\).
По неравенству треугольника: \((8 − d) + 8 > 8 + d\), поэтому \(d < 4\). Для целых сторон \(d = 0, 1, 2\) или \(3\).
Ответ: средняя сторона равна 8 см; целочисленные тройки сторон: (8, 8, 8), (7, 8, 9), (6, 8, 10), (5, 8, 11) см.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Последовательность (bn) — геометрическая прогрессия. Докажите, что:
а) если b1 > 0 и q > 1, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего;
б) если b1 > 0 и 0 < q < 1, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;
в) если b1 < 0 и q > 1, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;
г) если b1 < 0 и 0 < q < 1, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.
Для каждого из рассмотренных случаев приведите пример.
Задание учебника 2024 года
Периметр треугольника равен 24 см, причём длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Можно ли определить длину хотя бы одной из сторон? Какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах?
