Упр.666 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3(Учебник 2026)
Решение #4 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Определите вид последовательности и найдите x₅С пояснением
1) Найдём первый член: \(x_1 = S_1 = 1 - 8 = -7\).2) При n ≥ 2 найдём общий член:
xₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = n² − 8n − ((n − 1)² − 8(n − 1)) = 2n − 9.
Эта формула верна и при n = 1.3) Разность соседних членов равна xₙ₊₁ − xₙ = 2. Значит, последовательность является арифметической прогрессией.4) \(x_5 = 2 \cdot 5 − 9 = 1\).Ответ: да; x₅ = 1.
Кратко \(x_1 = S_1 = -7\).
При n ≥ 2: xₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = 2n − 9. При n = 1 формула также верна.
xₙ₊₁ − xₙ = 2, значит, это арифметическая прогрессия.
\(x_5 = 2 \cdot 5 - 9 = 1\).Ответ: да; x₅ = 1.
xₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = n² − 8n − ((n − 1)² − 8(n − 1)) = 2n − 9.
Эта формула верна и при n = 1.3) Разность соседних членов равна xₙ₊₁ − xₙ = 2. Значит, последовательность является арифметической прогрессией.4) \(x_5 = 2 \cdot 5 − 9 = 1\).Ответ: да; x₅ = 1.
Кратко \(x_1 = S_1 = -7\).
При n ≥ 2: xₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = 2n − 9. При n = 1 формула также верна.
xₙ₊₁ − xₙ = 2, значит, это арифметическая прогрессия.
\(x_5 = 2 \cdot 5 - 9 = 1\).Ответ: да; x₅ = 1.
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии имеет вид
\(\displaystyle S_n = \dfrac{n(2x_1 + (n - 1)d)}{2}\).Преобразуем данную формулу:
\(\displaystyle S_n = n^2 - 8n = n(n - 8) = \dfrac{n(2 \cdot (-7) + 2(n - 1))}{2}\).Она совпадает с формулой суммы арифметической прогрессии, у которой первый член \(x_1 = -7\), а разность \(d = 2\). Последовательность однозначно определяется своими частичными суммами, поэтому данная последовательность является этой арифметической прогрессией.\(x_5 = x_1 + 4d = -7 + 4 \cdot 2 = 1\).Ответ: да; \(x_5 = 1\).
\(\displaystyle S_n = \dfrac{n(2x_1 + (n - 1)d)}{2}\).Преобразуем данную формулу:
\(\displaystyle S_n = n^2 - 8n = n(n - 8) = \dfrac{n(2 \cdot (-7) + 2(n - 1))}{2}\).Она совпадает с формулой суммы арифметической прогрессии, у которой первый член \(x_1 = -7\), а разность \(d = 2\). Последовательность однозначно определяется своими частичными суммами, поэтому данная последовательность является этой арифметической прогрессией.\(x_5 = x_1 + 4d = -7 + 4 \cdot 2 = 1\).Ответ: да; \(x_5 = 1\).
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Решение #7(Учебник 2024)
Решение #8 (Учебник 2024)ИИ
Варианты решения:
Докажите формулу общего члена последовательностиС пояснением
1) Проверим первый член: при \(n = 1\) получаем \(3 \cdot 1^2 - 6 = -3 = b_1\).
2) Проверим рекуррентное соотношение. Если bₖ = 3k² − 6, то
bₖ₊₁ = bₖ + 6k + 3 = 3k² − 6 + 6k + 3 = 3(k + 1)² − 6.
Значит, формула верна и для следующего члена. Поскольку она верна для первого члена, она верна для всех натуральных n.
Ответ: \(b_n = 3n^2 − 6\).
Кратко При \(n = 1\): \(3 \cdot 1^2 - 6 = -3 = b_1\).
Если bₖ = 3k² − 6, то bₖ₊₁ = 3k² − 6 + 6k + 3 = 3(k + 1)² − 6. Следовательно, формула верна для всех натуральных n.
Ответ: \(b_n = 3n^2 − 6\).
2) Проверим рекуррентное соотношение. Если bₖ = 3k² − 6, то
bₖ₊₁ = bₖ + 6k + 3 = 3k² − 6 + 6k + 3 = 3(k + 1)² − 6.
Значит, формула верна и для следующего члена. Поскольку она верна для первого члена, она верна для всех натуральных n.
Ответ: \(b_n = 3n^2 − 6\).
Кратко При \(n = 1\): \(3 \cdot 1^2 - 6 = -3 = b_1\).
Если bₖ = 3k² − 6, то bₖ₊₁ = 3k² − 6 + 6k + 3 = 3(k + 1)² − 6. Следовательно, формула верна для всех натуральных n.
Ответ: \(b_n = 3n^2 − 6\).
От первого до n-го члена происходит n − 1 приращение:
bₙ = b₁ + (b₂ − b₁) + (b₃ − b₂) + … + (bₙ − bₙ₋₁).По рекуррентной формуле эти приращения равны \(6k + 3\) при \(k = 1, 2, \ldots, n - 1\). Поэтому
\(b_n = -3 + \sum (6k + 3)\), где k принимает значения от 1 до n − 1.Тогда
bₙ = b₁ + (b₂ − b₁) + (b₃ − b₂) + … + (bₙ − bₙ₋₁).По рекуррентной формуле эти приращения равны \(6k + 3\) при \(k = 1, 2, \ldots, n - 1\). Поэтому
\(b_n = -3 + \sum (6k + 3)\), где k принимает значения от 1 до n − 1.Тогда
\[b_n = -3 + 6 \cdot (1 + 2 + \ldots + (n - 1)) + 3(n - 1)\]
\[= -3 + 6 \cdot \frac{n(n - 1)}{2} + 3(n - 1)\]
\[= -3 + 3n(n - 1) + 3(n - 1)\]
\[= -3 + 3(n - 1)(n + 1)\]
\[= 3n^2 - 6.\]
Следовательно, последовательность задаётся формулой \(b_n = 3n^2 - 6\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Является ли последовательность (хn) арифметической прогрессией, если сумму первых n её членов можно найти по формуле Sn = n2 - 8n? Найдите пятый член этой последовательности.
Задание учебника 2024 года
Пусть (bn) — последовательность, в которой b1 = -3, bk + 1 = bk + 6k + 3. Докажите, что эту последовательность можно задать формулой bn = 3n2 - 6.
