Упр.664 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3(Учебник 2026)
Решение #4(Учебник 2024)
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Решение #7 (Учебник 2024)ИИ
Варианты решения:
Докажите формулу суммы дробейС пояснением
1) Разложим каждое слагаемое на разность дробей:
\(\displaystyle \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1}\).2) Подставим эти разности в сумму:
Кратко \(\displaystyle \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1}\).
\(\displaystyle \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1}\).2) Подставим эти разности в сумму:
\[S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\right).\]
Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, поэтому\[S_n = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}.\]
Ответ: формула \(S_n = \frac{n}{n + 1}\) верна при любом натуральном \(n\).Кратко \(\displaystyle \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1}\).
\[S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\right) = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}.\]
Ответ: \(S_n = \frac{n}{n + 1}\).При n = 1 получаем \(S_1 = \dfrac{1}{1\cdot 2} = \dfrac{1}{2}\), а по формуле \(\dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}\). Формула верна.Предположим, что для некоторого натурального k верно \(S_k = \dfrac{k}{k + 1}\). Тогда
Sₖ₊₁ = Sₖ + 1/((k + 1)(k + 2)) = k/(k + 1) + 1/((k + 1)(k + 2)).
Приведём дроби к общему знаменателю:
Sₖ₊₁ = (k(k + 2) + 1)/((k + 1)(k + 2)) = (k² + 2k + 1)/((k + 1)(k + 2)) = (k + 1)²/((k + 1)(k + 2)) = (k + 1)/(k + 2).Значит, из справедливости формулы для n = k следует её справедливость для n = k + 1. По принципу математической индукции \(S_n = \dfrac{n}{n + 1}\) при любом натуральном n.
Sₖ₊₁ = Sₖ + 1/((k + 1)(k + 2)) = k/(k + 1) + 1/((k + 1)(k + 2)).
Приведём дроби к общему знаменателю:
Sₖ₊₁ = (k(k + 2) + 1)/((k + 1)(k + 2)) = (k² + 2k + 1)/((k + 1)(k + 2)) = (k + 1)²/((k + 1)(k + 2)) = (k + 1)/(k + 2).Значит, из справедливости формулы для n = k следует её справедливость для n = k + 1. По принципу математической индукции \(S_n = \dfrac{n}{n + 1}\) при любом натуральном n.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Найдите пятидесятый член арифметической прогрессии, если:
а) S20 = 1000, S40 = 10 000;
б) S5 = 0,5, S15 = -81.
Задание учебника 2024 года
Докажите, что при любом натуральном n сумма
1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + ...+1.(n(n+1))
может быть вычислена по формуле Sn=n/(n+1).
