Упр.663 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3(Учебник 2026)
Решение #4 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Найдите сумму первых сорока членов прогрессииС пояснением
По формуле суммы арифметической прогрессии составим систему:
\(2a_1 + 9d = 20\),
\(2a_1 + 29d = 60\).Вычитая первое уравнение из второго, получаем \(20d = 40\), откуда \(d = 2\). Тогда \(2a_1 + 18 = 20\), поэтому \(a_1 = 1\).
Кратко По формуле суммы прогрессии:
\(2a_1 + 9d = 20\),
\(2a_1 + 29d = 60\).\(20d = 40\), \(d = 2\); \(a_1 = 1\).
\[\frac{10(2a_1 + 9d)}{2} = 100,\]
\[\frac{30(2a_1 + 29d)}{2} = 900.\]
Упростим уравнения:\(2a_1 + 9d = 20\),
\(2a_1 + 29d = 60\).Вычитая первое уравнение из второго, получаем \(20d = 40\), откуда \(d = 2\). Тогда \(2a_1 + 18 = 20\), поэтому \(a_1 = 1\).
\[S_{40} = \frac{40(2a_1 + 39d)}{2} = 20(2 + 78) = 1600.\]
Ответ: 1600.Кратко По формуле суммы прогрессии:
\(2a_1 + 9d = 20\),
\(2a_1 + 29d = 60\).\(20d = 40\), \(d = 2\); \(a_1 = 1\).
\[S_{40} = \frac{40(2 + 39 \cdot 2)}{2} = 1600.\]
Ответ: 1600.Обозначим суммы последовательных групп по 10 членов через B₁, B₂, B₃, B₄. Эти суммы образуют арифметическую прогрессию, так как при переходе к следующей группе каждый из 10 членов увеличивается на одну и ту же величину 10d.\(B_1 = S_{10} = 100\).
Из \(S_{30} = 900\) получаем:
\(B_1 + B_2 + B_3 = 900\),
поэтому \(B_2 + B_3 = 800\).Для четырёх последовательных членов арифметической прогрессии суммы крайних и средних членов равны:
\(B_1 + B_4 = B_2 + B_3 = 800\).Следовательно,
\(B_4 = 800 - 100 = 700\).Тогда
\(S_{40} = S_{30} + B_4 = 900 + 700 = 1600\).Ответ: 1600.
Из \(S_{30} = 900\) получаем:
\(B_1 + B_2 + B_3 = 900\),
поэтому \(B_2 + B_3 = 800\).Для четырёх последовательных членов арифметической прогрессии суммы крайних и средних членов равны:
\(B_1 + B_4 = B_2 + B_3 = 800\).Следовательно,
\(B_4 = 800 - 100 = 700\).Тогда
\(S_{40} = S_{30} + B_4 = 900 + 700 = 1600\).Ответ: 1600.
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Решение #7 (Учебник 2024)ИИ
Варианты решения:
Докажите равенство для любого натурального nС пояснением
Докажем равенство методом математической индукции.
1) При n = 1 левая часть равна \(1 \cdot 2 = 2\), правая — \(\dfrac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 2\). Равенство верно.
2) Пусть равенство верно при n = k:
k(k + 1)(k + 2)/3 + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)/3.
Это правая часть исходного равенства при n = k + 1.
Ответ: равенство верно для любого натурального n.
Кратко При n = 1: \(1 \cdot 2 = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2\).
Пусть равенство верно при n = k. Тогда при n = k + 1:
k(k + 1)(k + 2)/3 + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)/3.
Ответ: равенство верно для любого натурального n по математической индукции.
1) При n = 1 левая часть равна \(1 \cdot 2 = 2\), правая — \(\dfrac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 2\). Равенство верно.
2) Пусть равенство верно при n = k:
\[1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k + 1) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}.\]
Тогда при n = k + 1 левая часть равнаk(k + 1)(k + 2)/3 + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)/3.
Это правая часть исходного равенства при n = k + 1.
Ответ: равенство верно для любого натурального n.
Кратко При n = 1: \(1 \cdot 2 = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2\).
Пусть равенство верно при n = k. Тогда при n = k + 1:
k(k + 1)(k + 2)/3 + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)/3.
Ответ: равенство верно для любого натурального n по математической индукции.
Для каждого натурального k представим слагаемое в виде разности:
\[k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)}{3}.\]
Действительно,\[\frac{k(k+1)((k+2)-(k-1))}{3}=k(k+1).\]
Поэтому\[1\cdot2+2\cdot3+\ldots+n(n+1)=\frac{1\cdot2\cdot3-0\cdot1\cdot2}{3}+\frac{2\cdot3\cdot4-1\cdot2\cdot3}{3}+\ldots+\frac{n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)}{3}.\]
Все промежуточные произведения взаимно уничтожаются. Остаётся\[\frac{n(n+1)(n+2)-0\cdot1\cdot2}{3}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.\]
Следовательно, равенство верно при любом натуральном n.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Найдите сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, если сумма первых десяти её членов равна 100 и сумма первых тридцати её членов равна 900.
Задание учебника 2024 года
Докажите, что при любом натуральном n верно равенство
1*2+2*3+3*4+..+n(n+1) =1n/3(n+1)(n+2).
