Упр.750 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найдите целое расстояние между центрами окружностейС пояснением
Пусть d — расстояние между центрами окружностей.1) 5 − 3 = 2 (см) — разность радиусов.
2) 5 + 3 = 8 (см) — сумма радиусов.
3) Чтобы окружности пересекались в двух точках, расстояние между центрами должно быть больше разности радиусов и меньше их суммы:
2 < d < 8.Значит, целыми значениями d могут быть 3, 4, 5, 6 или 7 см.Ответ: 3 см, 4 см, 5 см, 6 см или 7 см.
Кратко 5 − 3 < d < 5 + 3,
2 < d < 8.Ответ: 3 см, 4 см, 5 см, 6 см или 7 см.
2) 5 + 3 = 8 (см) — сумма радиусов.
3) Чтобы окружности пересекались в двух точках, расстояние между центрами должно быть больше разности радиусов и меньше их суммы:
2 < d < 8.Значит, целыми значениями d могут быть 3, 4, 5, 6 или 7 см.Ответ: 3 см, 4 см, 5 см, 6 см или 7 см.
Кратко 5 − 3 < d < 5 + 3,
2 < d < 8.Ответ: 3 см, 4 см, 5 см, 6 см или 7 см.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать взаимосвязь равенства векторов и серединС пояснением
Пусть O — произвольная точка, M — середина AD, N — середина BC.1) Из равенства векторов \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) получаем:
\(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\),
откуда
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).2) Так как M и N — середины соответствующих отрезков, то
\(2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}\),
\(2\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).
Следовательно, \(2\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{ON}\), поэтому \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}\). Значит, точки M и N совпадают.3) Докажем обратное. Если середины отрезков AD и BC совпадают в точке M, то
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OM}\) и
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}\).
Значит,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).
Отсюда
\(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\), то есть
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\).Ответ: оба утверждения доказаны.
Кратко Пусть M и N — середины AD и BC, O — произвольная точка.Если \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\), то
\(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\), поэтому
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).
Следовательно, \(2\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{ON}\), откуда M = N.Обратно: если M = N, то
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).
Значит,
\(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\), то есть \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\).Ответ: прямое и обратное утверждения доказаны.
\(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\),
откуда
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).2) Так как M и N — середины соответствующих отрезков, то
\(2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}\),
\(2\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).
Следовательно, \(2\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{ON}\), поэтому \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}\). Значит, точки M и N совпадают.3) Докажем обратное. Если середины отрезков AD и BC совпадают в точке M, то
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OM}\) и
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}\).
Значит,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).
Отсюда
\(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\), то есть
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\).Ответ: оба утверждения доказаны.
Кратко Пусть M и N — середины AD и BC, O — произвольная точка.Если \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\), то
\(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\), поэтому
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).
Следовательно, \(2\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{ON}\), откуда M = N.Обратно: если M = N, то
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).
Значит,
\(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\), то есть \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\).Ответ: прямое и обратное утверждения доказаны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 5 см и 3 см. Каким целым числом может быть расстояние между их центрами?
Расстояние между их центрами:
AB < R+r, AB < 5+3, AB < 8;
AB > R-r, AB > 5-3, AB > 2;
Ответ: 3 см; 4 см; 5 см; 6 см; 7 см.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что если векторы АВ и CD равны, то середины отрезков AD и ВС совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и ВС совпадают, то АВ = CD.
