Упр.749 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Разбор 1 Определить, является ли АН касательной
Определить, является ли АН касательнойС пояснением
1) Треугольник АОН прямоугольный, так как АН перпендикулярна ОН.
2) По теореме Пифагора:
ОН² = ОА² − АН² = 5² − 4² = 25 − 16 = 9,
значит, ОН = 3 см.
3) ОН равен радиусу окружности, поэтому точка Н лежит на окружности. Прямая АН перпендикулярна радиусу ОН в точке Н, следовательно, АН — касательная.
Ответ: да, прямая АН является касательной к окружности.
Кратко ОН² = 5² − 4² = 9, поэтому ОН = 3 см. ОН равен радиусу окружности, а АН ⟂ ОН. Следовательно, АН — касательная.
Ответ: да.
2) По теореме Пифагора:
ОН² = ОА² − АН² = 5² − 4² = 25 − 16 = 9,
значит, ОН = 3 см.
3) ОН равен радиусу окружности, поэтому точка Н лежит на окружности. Прямая АН перпендикулярна радиусу ОН в точке Н, следовательно, АН — касательная.
Ответ: да, прямая АН является касательной к окружности.
Кратко ОН² = 5² − 4² = 9, поэтому ОН = 3 см. ОН равен радиусу окружности, а АН ⟂ ОН. Следовательно, АН — касательная.
Ответ: да.
Разбор 2 Определить, является ли АН касательной
Определить, является ли АН касательнойС пояснением
1) Так как АН перпендикулярна прямой ОН, то ∠АНО = 90°.
2) В прямоугольном треугольнике АНО ∠НАО = 45°, поэтому ∠АОН = 45°. Значит, треугольник АНО равнобедренный: АН = ОН.
3) По теореме Пифагора:
ОН² + АН² = ОА²,
2ОН² = 4²,
ОН² = 8.
Так как 8 < 9, то ОН < 3 см, то есть расстояние от центра окружности до прямой АН меньше радиуса. Следовательно, прямая АН пересекает окружность в двух точках и не является касательной.
Ответ: нет, прямая АН не является касательной.
Кратко В прямоугольном треугольнике АНО углы при А и О равны 45°, поэтому АН = ОН.
ОН² + АН² = 4²;
2ОН² = 16;
ОН² = 8 < 9 = 3².
Значит, ОН < 3 см, поэтому прямая АН пересекает окружность в двух точках.
Ответ: нет, АН не является касательной.
2) В прямоугольном треугольнике АНО ∠НАО = 45°, поэтому ∠АОН = 45°. Значит, треугольник АНО равнобедренный: АН = ОН.
3) По теореме Пифагора:
ОН² + АН² = ОА²,
2ОН² = 4²,
ОН² = 8.
Так как 8 < 9, то ОН < 3 см, то есть расстояние от центра окружности до прямой АН меньше радиуса. Следовательно, прямая АН пересекает окружность в двух точках и не является касательной.
Ответ: нет, прямая АН не является касательной.
Кратко В прямоугольном треугольнике АНО углы при А и О равны 45°, поэтому АН = ОН.
ОН² + АН² = 4²;
2ОН² = 16;
ОН² = 8 < 9 = 3².
Значит, ОН < 3 см, поэтому прямая АН пересекает окружность в двух точках.
Ответ: нет, АН не является касательной.
Разбор 3 Определить, является ли АН касательной
Определить, является ли АН касательнойС пояснением
1) Треугольник АНО прямоугольный, так как АН перпендикулярна ОН.
2) ∠НАО = 30°, поэтому катет ОН, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы АО:
ОН = 6 : 2 = 3 (см).
3) ОН равен радиусу окружности, значит точка Н лежит на окружности. Так как АН перпендикулярна радиусу ОН в точке Н, прямая АН является касательной к окружности.
Ответ: да, прямая АН является касательной.
Кратко В прямоугольном треугольнике АНО катет ОН лежит напротив угла 30°, поэтому:
1) ОН = 6 : 2 = 3 (см).
ОН — радиус, а АН ⟂ ОН, следовательно, АН — касательная.
Ответ: да, является.
2) ∠НАО = 30°, поэтому катет ОН, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы АО:
ОН = 6 : 2 = 3 (см).
3) ОН равен радиусу окружности, значит точка Н лежит на окружности. Так как АН перпендикулярна радиусу ОН в точке Н, прямая АН является касательной к окружности.
Ответ: да, прямая АН является касательной.
Кратко В прямоугольном треугольнике АНО катет ОН лежит напротив угла 30°, поэтому:
1) ОН = 6 : 2 = 3 (см).
ОН — радиус, а АН ⟂ ОН, следовательно, АН — касательная.
Ответ: да, является.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Определить равенство данных векторовС пояснением
Равные векторы должны иметь одинаковые длины и направления.а) Векторы \(\overrightarrow{NL}\) и \(\overrightarrow{KL}\) не равны: они направлены по разным сторонам трапеции.б) \(S\) — середина \(MN\), поэтому \(MS=SN\), а векторы \(\overrightarrow{MS}\) и \(\overrightarrow{SN}\) одинаково направлены. Следовательно, \(\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{SN}\).в) Хотя боковые стороны равнобедренной трапеции равны, векторы \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{KL}\) имеют разные направления, поэтому они не равны.г) \(ST\) — средняя линия трапеции. Векторы \(\overrightarrow{TS}\) и \(\overrightarrow{KM}\) одинаково направлены, но их длины в общем случае различны, поэтому они не равны.д) \(T\) — середина \(LK\), поэтому \(KT=TL\), а векторы \(\overrightarrow{KT}\) и \(\overrightarrow{TL}\) одинаково направлены. Следовательно, \(\overrightarrow{TL}=\overrightarrow{KT}\).Ответ: а) нет; б) да; в) нет; г) нет; д) да.
Кратко а) \(\overrightarrow{NL}\ne\overrightarrow{KL}\);
б) \(\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{SN}\);
в) \(\overrightarrow{MN}\ne\overrightarrow{KL}\);
г) \(\overrightarrow{TS}\ne\overrightarrow{KM}\);
д) \(\overrightarrow{TL}=\overrightarrow{KT}\).Ответ: а) нет; б) да; в) нет; г) нет; д) да.
Кратко а) \(\overrightarrow{NL}\ne\overrightarrow{KL}\);
б) \(\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{SN}\);
в) \(\overrightarrow{MN}\ne\overrightarrow{KL}\);
г) \(\overrightarrow{TS}\ne\overrightarrow{KM}\);
д) \(\overrightarrow{TL}=\overrightarrow{KT}\).Ответ: а) нет; б) да; в) нет; г) нет; д) да.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА = 5см, АН = 4 см; б) угол HAO = 45°, ОА = 4 см; в) угол HAO = 30°, ОА = 6 см?
Задание учебника 2023 года
Точки S и Т являются серединами боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции MNLK. Равны ли векторы: a) NL и KL; б) MS и SN; в) MN и KL; г) TS и КМ; д) TL и КТ?
