Упр.747 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что точка касания — середина A₁B₁С пояснением
Обозначим точку касания через T, а центр окружности — через O.1) Радиус OT перпендикулярен касательной A₁B₁. По условию AA₁ и BB₁ также перпендикулярны этой касательной. Поэтому AA₁ ∥ OT ∥ BB₁.
2) Четырёхугольник AA₁B₁B — трапеция с основаниями AA₁ и BB₁.
3) Так как AB — диаметр, O — середина боковой стороны AB этой трапеции.
4) Прямая OT проходит через середину боковой стороны AB и параллельна основаниям трапеции. Значит, она пересекает другую боковую сторону A₁B₁ в её середине.
5) Точка пересечения OT и A₁B₁ — это точка касания T. Следовательно, A₁T = TB₁.Ответ: точка касания T является серединой отрезка A₁B₁.
Кратко Пусть T — точка касания, O — центр окружности. Так как OT, AA₁ и BB₁ перпендикулярны касательной, то OT ∥ AA₁ ∥ BB₁. Следовательно, AA₁B₁B — трапеция. Точка O — середина AB, а OT параллельна основаниям трапеции, поэтому T — середина A₁B₁, то есть A₁T = TB₁.Ответ: T — середина отрезка A₁B₁.
2) Четырёхугольник AA₁B₁B — трапеция с основаниями AA₁ и BB₁.
3) Так как AB — диаметр, O — середина боковой стороны AB этой трапеции.
4) Прямая OT проходит через середину боковой стороны AB и параллельна основаниям трапеции. Значит, она пересекает другую боковую сторону A₁B₁ в её середине.
5) Точка пересечения OT и A₁B₁ — это точка касания T. Следовательно, A₁T = TB₁.Ответ: точка касания T является серединой отрезка A₁B₁.
Кратко Пусть T — точка касания, O — центр окружности. Так как OT, AA₁ и BB₁ перпендикулярны касательной, то OT ∥ AA₁ ∥ BB₁. Следовательно, AA₁B₁B — трапеция. Точка O — середина AB, а OT параллельна основаниям трапеции, поэтому T — середина A₁B₁, то есть A₁T = TB₁.Ответ: T — середина отрезка A₁B₁.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти пары коллинеарных векторовС пояснением
Векторы, лежащие на одной стороне, коллинеарны и противоположно направлены. Кроме того, коллинеарны векторы, лежащие на параллельных сторонах.1) Параллелограмм MNPQ.
Сонаправленные пары:
\(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{QP}\); \(\overrightarrow{NM}\) и \(\overrightarrow{PQ}\); \(\overrightarrow{NP}\) и \(\overrightarrow{MQ}\); \(\overrightarrow{PN}\) и \(\overrightarrow{QM}\).
Противоположно направленные пары:
\(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{NM}\); \(\overrightarrow{NP}\) и \(\overrightarrow{PN}\); \(\overrightarrow{PQ}\) и \(\overrightarrow{QP}\); \(\overrightarrow{QM}\) и \(\overrightarrow{MQ}\); \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{PQ}\); \(\overrightarrow{NM}\) и \(\overrightarrow{QP}\); \(\overrightarrow{NP}\) и \(\overrightarrow{QM}\); \(\overrightarrow{PN}\) и \(\overrightarrow{MQ}\).2) Трапеция ABCD, где \(AD\parallel BC\).
Сонаправленные пары:
\(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\); \(\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{CB}\).
Противоположно направленные пары:
\(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BA}\); \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CB}\); \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{DC}\); \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DA}\); \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CB}\); \(\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{BC}\).3) Треугольник FGH.
Сонаправленных пар нет.
Противоположно направленные пары:
\(\overrightarrow{FG}\) и \(\overrightarrow{GF}\); \(\overrightarrow{GH}\) и \(\overrightarrow{HG}\); \(\overrightarrow{FH}\) и \(\overrightarrow{HF}\).Ответ: пары коллинеарных векторов и их направления указаны выше.
Кратко а) В параллелограмме MNPQ сонаправлены:
\(\overrightarrow{MN}\uparrow\uparrow\overrightarrow{QP}\), \(\overrightarrow{NM}\uparrow\uparrow\overrightarrow{PQ}\), \(\overrightarrow{NP}\uparrow\uparrow\overrightarrow{MQ}\), \(\overrightarrow{PN}\uparrow\uparrow\overrightarrow{QM}\).
Противоположно направлены:
\(\overrightarrow{MN}\uparrow\downarrow\overrightarrow{NM}\), \(\overrightarrow{NP}\uparrow\downarrow\overrightarrow{PN}\), \(\overrightarrow{PQ}\uparrow\downarrow\overrightarrow{QP}\), \(\overrightarrow{QM}\uparrow\downarrow\overrightarrow{MQ}\), \(\overrightarrow{MN}\uparrow\downarrow\overrightarrow{PQ}\), \(\overrightarrow{NM}\uparrow\downarrow\overrightarrow{QP}\), \(\overrightarrow{NP}\uparrow\downarrow\overrightarrow{QM}\), \(\overrightarrow{PN}\uparrow\downarrow\overrightarrow{MQ}\).б) В трапеции ABCD сонаправлены:
\(\overrightarrow{AD}\uparrow\uparrow\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{DA}\uparrow\uparrow\overrightarrow{CB}\).
Противоположно направлены:
\(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{BC}\).в) В треугольнике FGH сонаправленных пар нет. Противоположно направлены:
\(\overrightarrow{FG}\) и \(\overrightarrow{GF}\), \(\overrightarrow{GH}\) и \(\overrightarrow{HG}\), \(\overrightarrow{FH}\) и \(\overrightarrow{HF}\).Ответ: все указанные пары векторов коллинеарны.
Сонаправленные пары:
\(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{QP}\); \(\overrightarrow{NM}\) и \(\overrightarrow{PQ}\); \(\overrightarrow{NP}\) и \(\overrightarrow{MQ}\); \(\overrightarrow{PN}\) и \(\overrightarrow{QM}\).
Противоположно направленные пары:
\(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{NM}\); \(\overrightarrow{NP}\) и \(\overrightarrow{PN}\); \(\overrightarrow{PQ}\) и \(\overrightarrow{QP}\); \(\overrightarrow{QM}\) и \(\overrightarrow{MQ}\); \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{PQ}\); \(\overrightarrow{NM}\) и \(\overrightarrow{QP}\); \(\overrightarrow{NP}\) и \(\overrightarrow{QM}\); \(\overrightarrow{PN}\) и \(\overrightarrow{MQ}\).2) Трапеция ABCD, где \(AD\parallel BC\).
Сонаправленные пары:
\(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\); \(\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{CB}\).
Противоположно направленные пары:
\(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BA}\); \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CB}\); \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{DC}\); \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DA}\); \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CB}\); \(\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{BC}\).3) Треугольник FGH.
Сонаправленных пар нет.
Противоположно направленные пары:
\(\overrightarrow{FG}\) и \(\overrightarrow{GF}\); \(\overrightarrow{GH}\) и \(\overrightarrow{HG}\); \(\overrightarrow{FH}\) и \(\overrightarrow{HF}\).Ответ: пары коллинеарных векторов и их направления указаны выше.
Кратко а) В параллелограмме MNPQ сонаправлены:
\(\overrightarrow{MN}\uparrow\uparrow\overrightarrow{QP}\), \(\overrightarrow{NM}\uparrow\uparrow\overrightarrow{PQ}\), \(\overrightarrow{NP}\uparrow\uparrow\overrightarrow{MQ}\), \(\overrightarrow{PN}\uparrow\uparrow\overrightarrow{QM}\).
Противоположно направлены:
\(\overrightarrow{MN}\uparrow\downarrow\overrightarrow{NM}\), \(\overrightarrow{NP}\uparrow\downarrow\overrightarrow{PN}\), \(\overrightarrow{PQ}\uparrow\downarrow\overrightarrow{QP}\), \(\overrightarrow{QM}\uparrow\downarrow\overrightarrow{MQ}\), \(\overrightarrow{MN}\uparrow\downarrow\overrightarrow{PQ}\), \(\overrightarrow{NM}\uparrow\downarrow\overrightarrow{QP}\), \(\overrightarrow{NP}\uparrow\downarrow\overrightarrow{QM}\), \(\overrightarrow{PN}\uparrow\downarrow\overrightarrow{MQ}\).б) В трапеции ABCD сонаправлены:
\(\overrightarrow{AD}\uparrow\uparrow\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{DA}\uparrow\uparrow\overrightarrow{CB}\).
Противоположно направлены:
\(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{BC}\).в) В треугольнике FGH сонаправленных пар нет. Противоположно направлены:
\(\overrightarrow{FG}\) и \(\overrightarrow{GF}\), \(\overrightarrow{GH}\) и \(\overrightarrow{HG}\), \(\overrightarrow{FH}\) и \(\overrightarrow{HF}\).Ответ: все указанные пары векторов коллинеарны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру АВ. Докажите, что точка касания является серединой отрезка A1B1.
Задание учебника 2023 года
Выпишите пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами: а) параллелограмма MNPQ; б) трапеции ABCD с основаниями AD и ВС; в) треугольника FGH. Укажите среди них пары сонаправленных и противоположно направленных векторов.
