Упр.316 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство углов трёх треугольниковС пояснением
Пусть △ABC прямоугольный, ∠C = 90°, а CH — высота, проведённая к гипотенузе AB.1) Рассмотрим △ABC и △ACH. У них ∠A — общий, а ∠ACB = ∠AHC = 90°. Поэтому их третьи углы также равны: ∠ABC = ∠ACH.2) Рассмотрим △ABC и △CBH. У них ∠B — общий, а ∠ACB = ∠CHB = 90°. Поэтому ∠BAC = ∠BCH.Значит, во всех трёх треугольниках есть соответственно равные углы:
∠ACB = ∠AHC = ∠CHB,
∠BAC = ∠CAH = ∠BCH,
∠ABC = ∠ACH = ∠CBH.Ответ: данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.
Кратко Пусть ∠C = 90°, CH ⟂ AB.В △ABC и △ACH:
∠A — общий, ∠ACB = ∠AHC = 90°, значит, ∠ABC = ∠ACH.В △ABC и △CBH:
∠B — общий, ∠ACB = ∠CHB = 90°, значит, ∠BAC = ∠BCH.Следовательно, углы трёх треугольников соответственно равны.Ответ: △ABC, △ACH и △CBH имеют соответственно равные углы.
∠ACB = ∠AHC = ∠CHB,
∠BAC = ∠CAH = ∠BCH,
∠ABC = ∠ACH = ∠CBH.Ответ: данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.
Кратко Пусть ∠C = 90°, CH ⟂ AB.В △ABC и △ACH:
∠A — общий, ∠ACB = ∠AHC = 90°, значит, ∠ABC = ∠ACH.В △ABC и △CBH:
∠B — общий, ∠ACB = ∠CHB = 90°, значит, ∠BAC = ∠BCH.Следовательно, углы трёх треугольников соответственно равны.Ответ: △ABC, △ACH и △CBH имеют соответственно равные углы.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить треугольник по стороне, высоте и медианеС пояснением
Пусть дана сторона BC, высота h, проведённая к BC, и медиана m, проведённая из вершины B к стороне AC.Построение:
1) Построим прямую l, параллельную BC и удалённую от неё на расстояние h/2.
2) Проведём окружность с центром B и радиусом m. Точку её пересечения с прямой l обозначим M.
3) На луче CM за точкой M отложим отрезок MA, равный CM. Тогда M — середина AC.
4) Соединим A с B и C. Получим треугольник ABC.Доказательство:
Так как M — середина AC, отрезок BM является медианой и BM = m. При переходе от M к A расстояние до прямой BC увеличивается в 2 раза, поэтому высота треугольника равна 2 · h/2 = h. Сторона BC дана по условию.Если медиана проведена из C к стороне AB, построение выполняется так же, но окружность проводят с центром C, а середину отмечают на AB.Ответ: построен треугольник ABC с заданными стороной, высотой и медианой.
Кратко Пусть BC — данная сторона, h — высота, BM = m — данная медиана к AC.1) Провести параллель к BC на расстоянии h/2.
2) Построить окружность с центром B радиуса m; её пересечение с параллелью обозначить M.
3) На прямой CM построить точку A так, чтобы MA = MC и M лежала между A и C.
4) Соединить A с B и C.Ответ: треугольник ABC построен; возможные точки пересечения дают возможные решения.
1) Построим прямую l, параллельную BC и удалённую от неё на расстояние h/2.
2) Проведём окружность с центром B и радиусом m. Точку её пересечения с прямой l обозначим M.
3) На луче CM за точкой M отложим отрезок MA, равный CM. Тогда M — середина AC.
4) Соединим A с B и C. Получим треугольник ABC.Доказательство:
Так как M — середина AC, отрезок BM является медианой и BM = m. При переходе от M к A расстояние до прямой BC увеличивается в 2 раза, поэтому высота треугольника равна 2 · h/2 = h. Сторона BC дана по условию.Если медиана проведена из C к стороне AB, построение выполняется так же, но окружность проводят с центром C, а середину отмечают на AB.Ответ: построен треугольник ABC с заданными стороной, высотой и медианой.
Кратко Пусть BC — данная сторона, h — высота, BM = m — данная медиана к AC.1) Провести параллель к BC на расстоянии h/2.
2) Построить окружность с центром B радиуса m; её пересечение с параллелью обозначить M.
3) На прямой CM построить точку A так, чтобы MA = MC и M лежала между A и C.
4) Соединить A с B и C.Ответ: треугольник ABC построен; возможные точки пересечения дают возможные решения.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.
Задание учебника 2023 года
Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к ней, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.
