Упр.313 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Сравнить сумму расстояний с периметром треугольникаС пояснением
Пусть точка M лежит внутри треугольника ABC.1) Продлим AM до пересечения со стороной BC в точке D. По неравенству треугольника:
BM < MD + DB,
AD < AC + CD.
Поэтому AM + BM < AD + DB < AC + CD + DB = AC + BC.2) Аналогично получаем:
BM + CM < AB + AC,
CM + AM < BC + AB.3) Сложим эти три неравенства:
2(AM + BM + CM) < 2(AB + BC + AC).
Следовательно,
AM + BM + CM < AB + BC + AC.Ответ: сумма расстояний от точки M до вершин меньше периметра треугольника ABC.
Кратко Пусть M — точка внутри треугольника ABC. По неравенству треугольника получаем:
AM + BM < AC + BC,
BM + CM < AB + AC,
CM + AM < AB + BC.
Сложив неравенства, имеем:
2(AM + BM + CM) < 2(AB + BC + AC),
значит, AM + BM + CM < AB + BC + AC.Ответ: сумма расстояний до вершин меньше периметра треугольника.
BM < MD + DB,
AD < AC + CD.
Поэтому AM + BM < AD + DB < AC + CD + DB = AC + BC.2) Аналогично получаем:
BM + CM < AB + AC,
CM + AM < BC + AB.3) Сложим эти три неравенства:
2(AM + BM + CM) < 2(AB + BC + AC).
Следовательно,
AM + BM + CM < AB + BC + AC.Ответ: сумма расстояний от точки M до вершин меньше периметра треугольника ABC.
Кратко Пусть M — точка внутри треугольника ABC. По неравенству треугольника получаем:
AM + BM < AC + BC,
BM + CM < AB + AC,
CM + AM < AB + BC.
Сложив неравенства, имеем:
2(AM + BM + CM) < 2(AB + BC + AC),
значит, AM + BM + CM < AB + BC + AC.Ответ: сумма расстояний до вершин меньше периметра треугольника.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить треугольник по двум сторонам и медианеС пояснением
Пусть даны стороны AB, AC и медиана AM.1) Построим отрезок AD, равный удвоенной медиане: AD = 2AM.
2) Построим треугольник ABD по трём сторонам: AB — первая данная сторона, BD = AC — вторая данная сторона, AD = 2AM.
3) Найдём середину M отрезка AD.
4) На прямой BM по другую сторону от M отложим MC = MB.
5) Соединим A и C. Треугольник ABC построен.Доказательство. В четырёхугольнике ABDC диагонали AD и BC делятся точкой M пополам, поэтому ABDC — параллелограмм. Следовательно, AC = BD, то есть AC равна второй данной стороне. Кроме того, AM — медиана треугольника ABC и равна данной медиане.Ответ: треугольник ABC — искомый.
Кратко 1) Построить треугольник ABD по трём сторонам: AB — первая данная сторона, BD — вторая данная сторона, AD — удвоенная медиана.
2) Найти середину M отрезка AD.
3) На прямой BM отложить MC = MB и соединить A с C.Ответ: ABC — искомый треугольник.
2) Построим треугольник ABD по трём сторонам: AB — первая данная сторона, BD = AC — вторая данная сторона, AD = 2AM.
3) Найдём середину M отрезка AD.
4) На прямой BM по другую сторону от M отложим MC = MB.
5) Соединим A и C. Треугольник ABC построен.Доказательство. В четырёхугольнике ABDC диагонали AD и BC делятся точкой M пополам, поэтому ABDC — параллелограмм. Следовательно, AC = BD, то есть AC равна второй данной стороне. Кроме того, AM — медиана треугольника ABC и равна данной медиане.Ответ: треугольник ABC — искомый.
Кратко 1) Построить треугольник ABD по трём сторонам: AB — первая данная сторона, BD — вторая данная сторона, AD — удвоенная медиана.
2) Найти середину M отрезка AD.
3) На прямой BM отложить MC = MB и соединить A с C.Ответ: ABC — искомый треугольник.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.
Задание учебника 2023 года
Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.
