Упр.310 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Сравнить наклонные и их проекцииС пояснением
а) Треугольники АНМ₁ и АНМ₂ прямоугольные. У них АН — общий катет, а АМ₁ = АМ₂ — равные гипотенузы. Поэтому треугольники равны по гипотенузе и катету. Значит, НМ₁ = НМ₂.б) Предположим противное: при АМ₁ < АМ₂ выполняется НМ₁ ≥ НМ₂.
1) Если НМ₁ = НМ₂, то по доказанному выше АМ₁ = АМ₂, что противоречит условию.
2) Пусть НМ₁ > НМ₂. На луче НМ₁ отметим точку N так, что НN = НМ₂. Тогда треугольники АНN и АНМ₂ равны по двум катетам, поэтому АN = АМ₂.
3) Точка N лежит между Н и М₁. В треугольнике АNМ₁ угол АNМ₁ тупой, поэтому сторона АМ₁, лежащая напротив него, больше стороны АN. Следовательно, АМ₁ > АN = АМ₂. Это противоречит условию АМ₁ < АМ₂.Значит, НМ₁ < НМ₂.
Ответ: а) НМ₁ = НМ₂; б) НМ₁ < НМ₂.
Кратко а) Прямоугольные треугольники АНМ₁ и АНМ₂ равны по гипотенузе и катету: АМ₁ = АМ₂, АН — общий. Поэтому НМ₁ = НМ₂.б) Если бы НМ₁ ≥ НМ₂, то при равенстве проекций получили бы АМ₁ = АМ₂, а при НМ₁ > НМ₂ — АМ₁ > АМ₂. Оба вывода противоречат условию АМ₁ < АМ₂. Значит, НМ₁ < НМ₂.Ответ: а) НМ₁ = НМ₂; б) НМ₁ < НМ₂.
1) Если НМ₁ = НМ₂, то по доказанному выше АМ₁ = АМ₂, что противоречит условию.
2) Пусть НМ₁ > НМ₂. На луче НМ₁ отметим точку N так, что НN = НМ₂. Тогда треугольники АНN и АНМ₂ равны по двум катетам, поэтому АN = АМ₂.
3) Точка N лежит между Н и М₁. В треугольнике АNМ₁ угол АNМ₁ тупой, поэтому сторона АМ₁, лежащая напротив него, больше стороны АN. Следовательно, АМ₁ > АN = АМ₂. Это противоречит условию АМ₁ < АМ₂.Значит, НМ₁ < НМ₂.
Ответ: а) НМ₁ = НМ₂; б) НМ₁ < НМ₂.
Кратко а) Прямоугольные треугольники АНМ₁ и АНМ₂ равны по гипотенузе и катету: АМ₁ = АМ₂, АН — общий. Поэтому НМ₁ = НМ₂.б) Если бы НМ₁ ≥ НМ₂, то при равенстве проекций получили бы АМ₁ = АМ₂, а при НМ₁ > НМ₂ — АМ₁ > АМ₂. Оба вывода противоречат условию АМ₁ < АМ₂. Значит, НМ₁ < НМ₂.Ответ: а) НМ₁ = НМ₂; б) НМ₁ < НМ₂.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство соответствующих высотС пояснением
Пусть △ABC = △A₁B₁C₁, причём BC = B₁C₁. Проведём высоты AH и A₁H₁ к этим сторонам.1) Наложим △ABC на △A₁B₁C₁. Тогда вершина A совпадёт с A₁, а сторона BC — со стороной B₁C₁.
2) Из точки к прямой можно провести только один перпендикуляр. Поэтому перпендикуляр AH совпадёт с перпендикуляром A₁H₁.
3) Следовательно, AH = A₁H₁.Ответ: высоты, проведённые к равным соответствующим сторонам равных треугольников, равны.
Кратко Пусть △ABC = △A₁B₁C₁, а AH и A₁H₁ — высоты к равным сторонам BC и B₁C₁. При наложении треугольников вершины A и A₁, а также стороны BC и B₁C₁ совпадут. Значит, совпадут и проведённые к ним перпендикуляры, поэтому AH = A₁H₁.Ответ: соответствующие высоты равны.
2) Из точки к прямой можно провести только один перпендикуляр. Поэтому перпендикуляр AH совпадёт с перпендикуляром A₁H₁.
3) Следовательно, AH = A₁H₁.Ответ: высоты, проведённые к равным соответствующим сторонам равных треугольников, равны.
Кратко Пусть △ABC = △A₁B₁C₁, а AH и A₁H₁ — высоты к равным сторонам BC и B₁C₁. При наложении треугольников вершины A и A₁, а также стороны BC и B₁C₁ совпадут. Значит, совпадут и проведённые к ним перпендикуляры, поэтому AH = A₁H₁.Ответ: соответствующие высоты равны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2. Докажите, что:
а) если АМ1 = АМ2, то НМ1 = НМ2,
б) если АМ1 < AM2, то НМ1 < НМ2.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны.
