Упр.7.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:
29. Известно, что диагонали четырёхугольника пересекаются. Докажите, что сумма их длин меньше периметра, но больше полупериметра четырёхугольника.
Доказать: сумма длин диагоналей четырехугольника меньше периметра,
но больше полупериметра четырехугольника;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный четырехугольник, диагонали AC и BD которого
пересекаются в точке O;
2) Согласно неравенству треугольника:
В треугольнике ABC: AC < AB+BC;
В треугольнике ADC: AC < AD+CD;
В треугольнике ABD: BD < AB+AD;
В треугольнике CBD: BD < BC+CD;
3) Сложим все четыре эти неравенства между собой, получим:
2(AC+BD) < 2(AB+BC+CD+AD), отсюда AC+BD < P;
4) Согласно неравенству треугольника:
В треугольнике AOB: AB < OA+OB;
В треугольнике BOC: BC < OB+OC;
В треугольнике COD: CD < OC+OD;
В треугольнике DOA: AD < OA+OD;
5) Сложим все четыре эти неравенства между собой, получим:
AB+BC+CD+AD < 2(OA+OC)+2(OB+OD), отсюда P < 2(AC+BD);
6) Разделим обе части выражения на 2, получим: AC+BD > P/2;
7) Таким образом: P/2 < AC+BD < P, что и требовалось доказать.
Популярные решебники 8 класс Все решебники
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением