Упр.6.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:
58. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Доказать: середины сторон прямоугольника являются вершинами
ромба;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный прямоугольник и E, F, G, H-середины его
сторон;
2) По свойству прямоугольника: AC=BD;
3) Отрезок EF-средняя линия треугольника ABC, отсюда:
EF||AC и EF=1/2 AC;
4) Отрезок FG-средняя линия треугольника CBD, отсюда:
FG||BD и FG=1/2 BD;
5) Так как AC=BD, то EF=FG;
6) В задаче 55 было доказано, что EFGH-параллелограмм, отсюда
следует, что EH=FG=EF=HG;
7) Таким образом, у параллелограмма EFGH все стороны равны, значит
он является ромбом, что и требовалось доказать.
Доказать: середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный ромб и E, F, G, H-середины его сторон;
2) По свойству ромба: AC перпендикулярен BD;
3) Отрезок EF-средняя линия треугольника ABC, отсюда: EF||AC;
4) Отрезок FG-средняя линия треугольника CBD, отсюда: FG||BD;
5) Так как AC перпендикулярен BD, то EF перпендикулярен FG;
6) В задаче 55 было доказано, что EFGH-параллелограмм, а так как
оин из его углов прямой, то он является прямоугольником (задача 25),
что и требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
