Упр.489 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Докажите делимость выражения на 3С пояснением
По условию \(a = 3k + 1, b = 9n + 7\), где k и n — целые неотрицательные числа. Подставим эти выражения:
\(4a + 2b = 4(3k + 1) + 2(9n + 7) = 12k + 18n + 18 = 3(4k + 6n + 6)\).
Полученное выражение является произведением 3 на целое число, поэтому делится на 3.
Ответ: 4a + 2b делится на 3.
Кратко Пусть \(a = 3k + 1, b = 9n + 7\), где k и n — целые неотрицательные числа.
\(4a + 2b = 12k + 4 + 18n + 14 = 3(4k + 6n + 6)\).
Ответ: выражение делится на 3.
\(4a + 2b = 4(3k + 1) + 2(9n + 7) = 12k + 18n + 18 = 3(4k + 6n + 6)\).
Полученное выражение является произведением 3 на целое число, поэтому делится на 3.
Ответ: 4a + 2b делится на 3.
Кратко Пусть \(a = 3k + 1, b = 9n + 7\), где k и n — целые неотрицательные числа.
\(4a + 2b = 12k + 4 + 18n + 14 = 3(4k + 6n + 6)\).
Ответ: выражение делится на 3.
При делении a на 3 остаток равен 1.Число b при делении на 9 даёт остаток 7. Поскольку 9 делится на 3, а 7 при делении на 3 даёт остаток 1, число b при делении на 3 также даёт остаток 1.Тогда 4a при делении на 3 имеет такой же остаток, как 4 · 1, то есть 1. Число 2b имеет такой же остаток, как 2 · 1, то есть 2.Следовательно, сумма 4a + 2b имеет остаток \(1 + 2 = 3\), то есть остаток 0. Значит, 4a + 2b делится на 3 нацело.
Решение #4(Учебник 2021)
Решение #5(Учебник 2021)
Решение #6 (Учебник 2021)ИИ
Варианты решения:
Докажите делимость выражения на 6С пояснением
1) Разложим выражение на множители:
\(n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2)\).
2) Числа n, n + 1 и n + 2 — три последовательных натуральных числа. Одно из них делится на 3, а хотя бы одно — на 2. Поэтому их произведение делится на 6.
Ответ: выражение делится на 6 при любом натуральном n.
Кратко \(n^3 + 3n^2 + 2n = n(n + 1)(n + 2)\).
Среди трёх последовательных чисел одно делится на 3, а хотя бы одно — на 2. Значит, их произведение делится на 6.
Ответ: выражение делится на 6 при любом натуральном n.
\(n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2)\).
2) Числа n, n + 1 и n + 2 — три последовательных натуральных числа. Одно из них делится на 3, а хотя бы одно — на 2. Поэтому их произведение делится на 6.
Ответ: выражение делится на 6 при любом натуральном n.
Кратко \(n^3 + 3n^2 + 2n = n(n + 1)(n + 2)\).
Среди трёх последовательных чисел одно делится на 3, а хотя бы одно — на 2. Значит, их произведение делится на 6.
Ответ: выражение делится на 6 при любом натуральном n.
Пусть \(n = 6k + r\), где k — целое неотрицательное число, а r ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Тогда
\(r = 0\): \(0^3 + 3\cdot 0^2 + 2\cdot 0 = 0\);
\(r = 1\): \(1^3 + 3\cdot 1^2 + 2\cdot 1 = 6\);
\(r = 2\): \(2^3 + 3\cdot 2^2 + 2\cdot 2 = 24\);
\(r = 3\): \(3^3 + 3\cdot 3^2 + 2\cdot 3 = 60\);
\(r = 4\): \(4^3 + 3\cdot 4^2 + 2\cdot 4 = 120\);
\(r = 5\): \(5^3 + 3\cdot 5^2 + 2\cdot 5 = 210\).Все полученные числа делятся на 6. Следовательно, \(n^3 + 3n^2 + 2n\) делится на 6 при любом натуральном \(n\).
\(n^3 + 3n^2 + 2n = (6k + r)^3 + 3(6k + r)^2 + 2(6k + r)\)
\(= 6(36k^3 + 18k^2r + 3kr^2 + 18k^2 + 6kr + 2k) + r^3 + 3r^2 + 2r\).Первое слагаемое делится на 6. Проверим второе для всех возможных остатков r:\(r = 0\): \(0^3 + 3\cdot 0^2 + 2\cdot 0 = 0\);
\(r = 1\): \(1^3 + 3\cdot 1^2 + 2\cdot 1 = 6\);
\(r = 2\): \(2^3 + 3\cdot 2^2 + 2\cdot 2 = 24\);
\(r = 3\): \(3^3 + 3\cdot 3^2 + 2\cdot 3 = 60\);
\(r = 4\): \(4^3 + 3\cdot 4^2 + 2\cdot 4 = 120\);
\(r = 5\): \(5^3 + 3\cdot 5^2 + 2\cdot 5 = 210\).Все полученные числа делятся на 6. Следовательно, \(n^3 + 3n^2 + 2n\) делится на 6 при любом натуральном \(n\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Остаток при делении натурального числа а на 3 равен 1, а остаток при делении натурального числа b на 9 равен 7. Докажите, что значение выражения 4а + 2b делится нацело на 3.
Задание учебника 2021 года
Докажите, что при всех натуральных значениях п значение выражения n3 + 3n2 + 2n делится нацело на 6.
