Упр.13.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Решение #1

Изображение 4. Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной.Доказать:  у замкнутой ломаной расстояние между любыми...
 

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:
4. Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной.

Доказать: у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя
вершинами не больше половины длины ломаной;
Доказательство:
1) Пусть данная замкнутая ломаная состоит из n вершин;
2) Возьмем произвольную вершину Ak (k
3) Рассмотрим данную ломаную как две незамкнутые ломаные, концы
которых соединяет отрезок A1 Ak, тогда по теореме 13.1:
A1 Ak?A1 A2+A2 A3+...+A(k-1) Ak;
A1 Ak?Ak A(k+1)+...+A(n-1) An+An A1;
4) Аналогично, если вместо вершины ломаной A1 концом отрезка
является любая другая вершина;
5) Так как наша замкнутая ломаная состоит из этих двух незамкнутых
ломаных, то по крайней мере одна из них имеет длину не большую, чем
половина длины замкнутой ломаной, следовательно и отрезок A1 Ak
имеет длину не большую, чем половина длины замкнутой ломаной, что
и требовалось доказать.
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением