Упр.1228 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Докажите делимость разности на 3С пояснением
Пусть n — натуральное число, не кратное 3. При делении на 3 оно даёт остаток 1 или 2, поэтому \(n = 3k + 1\) или \(n = 3k + 2\), где k — целое неотрицательное число.
1) Если \(n = 3k + 1\), то n² − 1 = 9k² + 6k = 3(3k² + 2k), то есть разность кратна 3.
2) Если \(n = 3k + 2\), то n² − 1 = 9k² + 12k + 3 = 3(3k² + 4k + 1), то есть разность также кратна 3.
Ответ: \(n^2 − 1\) кратно 3.
Кратко Пусть \(n = 3k + 1\) или \(n = 3k + 2\), где k — целое неотрицательное число.
Если \(n = 3k + 1\), то n² − 1 = 3(3k² + 2k).
Если \(n = 3k + 2\), то n² − 1 = 3(3k² + 4k + 1).
Ответ: в обоих случаях \(n^2 − 1\) кратно 3.
1) Если \(n = 3k + 1\), то n² − 1 = 9k² + 6k = 3(3k² + 2k), то есть разность кратна 3.
2) Если \(n = 3k + 2\), то n² − 1 = 9k² + 12k + 3 = 3(3k² + 4k + 1), то есть разность также кратна 3.
Ответ: \(n^2 − 1\) кратно 3.
Кратко Пусть \(n = 3k + 1\) или \(n = 3k + 2\), где k — целое неотрицательное число.
Если \(n = 3k + 1\), то n² − 1 = 3(3k² + 2k).
Если \(n = 3k + 2\), то n² − 1 = 3(3k² + 4k + 1).
Ответ: в обоих случаях \(n^2 − 1\) кратно 3.
Разложим разность квадратов:
\[n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1).\]
Числа n − 1, n и n + 1 — три последовательных числа, поэтому одно из них кратно 3. По условию n не кратно 3, значит, на 3 делится либо n − 1, либо n + 1. Следовательно, произведение (n − 1)(n + 1) кратно 3.Значит, \(n^2-1\) кратно 3.Решение #4(Учебник 2019)
Решение #5(Учебник 2019)
Решение #6 (Учебник 2019)ИИ
Варианты решения:
Найдите скорость велосипедистаС пояснением
До первой встречи прошло \(1\text{ ч }20\text{ мин} = \dfrac{4}{3}\text{ ч}\), до второй — 2 ч. Первым велосипедист встретил более быстрый автобус.Пусть скорость велосипедиста равна x км/ч. Тогда скорость быстрого автобуса равна \(100 : \left(\dfrac{4}{3}\right) - x = 75 - x\) км/ч, а скорость другого автобуса — \(100 : 2 - x = 50 - x\) км/ч.По условию составим уравнение:
Кратко Пусть x км/ч — скорость велосипедиста. До встреч прошло \(4/3\) ч и 2 ч, поэтому скорости автобусов равны \(75 - x\) и \(50 - x\) км/ч.
\[75 - x = \frac{12}{7} \cdot (50 - x);\]
\[525 - 7x = 600 - 12x;\]
\[5x = 75;\]
\[x = 15.\]
Ответ: 15 км/ч.Кратко Пусть x км/ч — скорость велосипедиста. До встреч прошло \(4/3\) ч и 2 ч, поэтому скорости автобусов равны \(75 - x\) и \(50 - x\) км/ч.
\[75 - x = \frac{12}{7} \cdot (50 - x);\]
\[525 - 7x = 600 - 12x;\]
\[x = 15.\]
Ответ: 15 км/ч.До первой встречи прошло \(1\text{ ч }20\text{ мин} = \dfrac{4}{3}\text{ ч}\), до второй — 2 ч. Значит, скорости сближения велосипедиста с автобусами равны:
\[100 : \frac{4}{3} = 75\] км/ч;
\[100 : 2 = 50\] км/ч.Разность скоростей сближения равна разности скоростей автобусов:
\[75 - 50 = 25\] км/ч.Скорость быстрого автобуса составляет \(12/7\) скорости медленного. Следовательно, разность их скоростей составляет \(\dfrac{12}{7} - 1 = \dfrac{5}{7}\) скорости медленного автобуса.Тогда скорость медленного автобуса:
\[25 : 5 \cdot 7 = 35\] км/ч.Скорость велосипедиста:
\[50 - 35 = 15\] км/ч.Ответ: 15 км/ч.
\[100 : \frac{4}{3} = 75\] км/ч;
\[100 : 2 = 50\] км/ч.Разность скоростей сближения равна разности скоростей автобусов:
\[75 - 50 = 25\] км/ч.Скорость быстрого автобуса составляет \(12/7\) скорости медленного. Следовательно, разность их скоростей составляет \(\dfrac{12}{7} - 1 = \dfrac{5}{7}\) скорости медленного автобуса.Тогда скорость медленного автобуса:
\[25 : 5 \cdot 7 = 35\] км/ч.Скорость велосипедиста:
\[50 - 35 = 15\] км/ч.Ответ: 15 км/ч.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.
Пусть натуральное число, не кратное 3, будет n.
Тогда, при делении на 3 получаем остаток 1 или 2.
Если остаток равен 1, то
(3n+1)^2-1=9n^2+6n+1-1=9n^2+6n=3•(3n^2+2n).
Так как один из множителей число 3, значит выражение кратно 3.
Если остаток равен 2, то
(3n+2)^2-1=9n^2+12n+4-1=9n^2+12n+3=
=3•(3n^2+4n+1).
Так как один из множителей число 3, значит выражение кратно 3.
Таким образом, разность между квадратом натурального числа, не кратного трём, и числом 1 кратна 3.
Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2019 года
Из города А в город В в 8 ч 50 мин вышли два автобуса. В то же время из города В в город А выехал велосипедист. Один автобус он встретил в 10 ч 10 мин, а другой — в 10 ч 50 мин. Расстояние между городами 100 км. Найдите скорость велосипедиста, если скорость одного автобуса в 1*5/7 раза больше скорости другого.
Пусть скорость одного автобуса x км/ч, а скорость велосипедиста y км/ч.
По условию задачи скорость второго автобуса: 1 5/7 x=12/7 x км/ч.
Первый автобус велосипедист встретил через:
10 ч 10 мин-8 ч 50 мин=1 ч 20 мин=1 20/60 ч=1 1/3 ч=4/3 часа.
Так как автобус и велосипедист были в пути одинаковое время, а расстояние между городами 100 км, то можно составить уравнение: 4/3•12/7 x+4/3 y=100.
Второй автобус велосипедист встретил через:
10 ч 50 мин-8 ч 50 мин=2 ч.
Так как автобус и велосипедист были в пути одинаковое время, а расстояние между городами 100 км, то можно составить уравнение: 2x+2y=100.
Составим и решим систему уравнений.
