Упр.1225 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Докажите делимость \(p^2 - 1\) на 24С пояснением
Разложим выражение на множители: \(p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)\).
Число p нечётное, так как оно простое и больше 3. Поэтому p − 1 и p + 1 — два соседних чётных числа. Одно из них делится на 4, а другое — на 2, значит, их произведение делится на 8.
Среди трёх последовательных чисел p − 1, p, p + 1 одно делится на 3. Простое число p больше 3 не делится на 3, поэтому на 3 делится один из множителей p − 1 или p + 1.
Произведение делится на 8 и на 3. Числа 8 и 3 взаимно просты, значит, произведение делится на 24.
Ответ: \(p^2 - 1\) кратно 24.
Кратко \(p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)\). Число \(p\) нечётное, поэтому среди двух соседних чётных чисел \(p - 1\) и \(p + 1\) одно делится на 4, а другое — на 2. Значит, их произведение делится на 8.
Одно из чисел p − 1, p, p + 1 делится на 3. Так как простое число p > 3 не делится на 3, произведение (p − 1)(p + 1) делится на 3. Числа 8 и 3 взаимно просты, поэтому произведение делится на 24.
Ответ: \(p^2 - 1\) кратно 24.
Число p нечётное, так как оно простое и больше 3. Поэтому p − 1 и p + 1 — два соседних чётных числа. Одно из них делится на 4, а другое — на 2, значит, их произведение делится на 8.
Среди трёх последовательных чисел p − 1, p, p + 1 одно делится на 3. Простое число p больше 3 не делится на 3, поэтому на 3 делится один из множителей p − 1 или p + 1.
Произведение делится на 8 и на 3. Числа 8 и 3 взаимно просты, значит, произведение делится на 24.
Ответ: \(p^2 - 1\) кратно 24.
Кратко \(p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)\). Число \(p\) нечётное, поэтому среди двух соседних чётных чисел \(p - 1\) и \(p + 1\) одно делится на 4, а другое — на 2. Значит, их произведение делится на 8.
Одно из чисел p − 1, p, p + 1 делится на 3. Так как простое число p > 3 не делится на 3, произведение (p − 1)(p + 1) делится на 3. Числа 8 и 3 взаимно просты, поэтому произведение делится на 24.
Ответ: \(p^2 - 1\) кратно 24.
Любое целое число при делении на 6 имеет остаток 0, 1, 2, 3, 4 или 5. Простое число p > 3 не делится на 2 и на 3, поэтому оно имеет вид \(p = 6k + 1\) или \(p = 6k − 1\).Если \(p = 6k + 1\), то
\[p^2 - 1 = (6k + 1)^2 - 1 = 36k^2 + 12k = 12k(3k + 1).\]
Произведение \(k(3k + 1)\) чётно: если \(k\) чётно, это очевидно; если \(k\) нечётно, то \(3k + 1\) чётно. Следовательно, \(p^2 − 1\) делится на \(12 \cdot 2 = 24\).Если \(p = 6k − 1\), то\[p^2 - 1 = (6k - 1)^2 - 1 = 36k^2 - 12k = 12k(3k - 1).\]
Произведение \(k(3k − 1)\) также чётно: если \(k\) чётно, это очевидно; если \(k\) нечётно, то \(3k − 1\) чётно. Поэтому и в этом случае \(p^2 − 1\) делится на 24.Значит, для любого простого числа \(p > 3\) число \(p^2 − 1\) кратно 24.Решение #4(Учебник 2019)
Решение #5(Учебник 2019)
Решение #6 (Учебник 2019)ИИ
Варианты решения:
Найдите скорости мотоциклиста в гору и под горуС пояснением
На ровный участок в каждом направлении мотоциклист затратил \(12 : 18 = 2/3\) ч = 40 мин.
Пусть x мин он ехал 1 км в гору, а y мин — 1 км под гору. На обратном пути подъём и спуск поменялись местами. Составим систему:
Ответ: 12 км/ч в гору, 30 км/ч под гору.
Кратко На ровный участок: \(12 : 18 = 2/3\) ч = 40 мин.
Пусть x мин — время на 1 км в гору, y мин — время на 1 км под гору. Тогда:
Скорости: \(60 : 5 = 12\) км/ч; \(60 : 2 = 30\) км/ч.
Ответ: в гору — 12 км/ч, под гору — 30 км/ч.
Пусть x мин он ехал 1 км в гору, а y мин — 1 км под гору. На обратном пути подъём и спуск поменялись местами. Составим систему:
\[\begin{cases}3x + 6y = 67 - 40,\\ 6x + 3y = 76 - 40.\end{cases}\]
Упростим:\[\begin{cases}x + 2y = 9,\\ 2x + y = 12.\end{cases}\]
Из первого уравнения \(x = 9 - 2y\). Подставим во второе:\[2(9 - 2y) + y = 12,\]
\[3y = 6,\quad y = 2,\quad x = 5.\]
Значит, скорость в гору равна \(60 : 5 = 12\) км/ч, а под гору — \(60 : 2 = 30\) км/ч.Ответ: 12 км/ч в гору, 30 км/ч под гору.
Кратко На ровный участок: \(12 : 18 = 2/3\) ч = 40 мин.
Пусть x мин — время на 1 км в гору, y мин — время на 1 км под гору. Тогда:
\[\begin{cases}3x + 6y = 27,\\ 6x + 3y = 36.\end{cases}\]
Отсюда \(x + 2y = 9\), \(2x + y = 12\); \(x = 5\), \(y = 2\).Скорости: \(60 : 5 = 12\) км/ч; \(60 : 2 = 30\) км/ч.
Ответ: в гору — 12 км/ч, под гору — 30 км/ч.
На ровный участок мотоциклист в каждом направлении затратил
\(\displaystyle 12 : 18 = \dfrac{2}{3}\text{ ч} = 40\text{ мин}\).Обратный путь занял на \(76 - 67 = 9\) мин больше. При движении обратно вместо 3 км под гору мотоциклист проехал дополнительные 3 км в гору. Значит, на прохождение 1 км в гору требуется на
\(9 : 3 = 3\) мин
больше, чем на прохождение 1 км под гору.Пусть на 1 км под гору требуется x мин, тогда на 1 км в гору — (x + 3) мин. В прямом направлении на подъём и спуск было затрачено \(67 - 40 = 27\) мин. Составим уравнение:
Скорость в гору: \(60 : 5 = 12\) км/ч.Ответ: в гору — 12 км/ч, под гору — 30 км/ч.
\(\displaystyle 12 : 18 = \dfrac{2}{3}\text{ ч} = 40\text{ мин}\).Обратный путь занял на \(76 - 67 = 9\) мин больше. При движении обратно вместо 3 км под гору мотоциклист проехал дополнительные 3 км в гору. Значит, на прохождение 1 км в гору требуется на
\(9 : 3 = 3\) мин
больше, чем на прохождение 1 км под гору.Пусть на 1 км под гору требуется x мин, тогда на 1 км в гору — (x + 3) мин. В прямом направлении на подъём и спуск было затрачено \(67 - 40 = 27\) мин. Составим уравнение:
\[6x + 3(x + 3) = 27,\]
\[6x + 3x + 9 = 27,\]
\[9x = 18,\]
\[x = 2.\]
Следовательно, на 1 км в гору требуется \(2 + 3 = 5\) мин.Скорость под гору: \(60 : 2 = 30\) км/ч.Скорость в гору: \(60 : 5 = 12\) км/ч.Ответ: в гору — 12 км/ч, под гору — 30 км/ч.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Докажите, что р2 - 1 кратно 24, если р — простое число, большее 3.
p^2-1=(p-1)(p+1)
Так как числа p,p+1,p-1 – это три последовательных числа, то какое-то из трёх чисел кратно 2, а какое-то из них кратно 3.
Если p – простое число, то числа p+1 и p-1 кратны 2 и 3.
Значит, их произведение кратно 6.
Так как p – простое число большее 3, то оно не чётное.
Значит, числа p+1 и p-1 кратны 2, а их произведение кратно 4.
Так как произведение (p+1)(p-1) кратно 6 и 4, значит p^2-1 кратно 24.
Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2019 года
Путь от A до В идёт 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км по ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за 1 ч 7 мин, а обратный путь — за 1 ч 16 мин. Найдите скорость мотоциклиста в гору и под гору, если на ровном месте его скорость 18 км/ч.
Ровное место в пути мотоциклист преодолел за
12:18=12/18=2/3 часа=40/60 часа=40 минут.
Тогда, 3 км в гору и 6 км под гору мотоциклист преодолевает за 67-40=27 минут.
А 6 км в гору и 3 км под гору мотоциклист преодолевает за
76-40=36 минут.
Пусть скорость мотоциклиста в гору x км/ч, а скорость мотоциклиста с горы y км/ч.
1 час 7 минут=67 минут.
1 час 16 минут=76 минут.
Составим и решим систему уравнений.
