Упр.1227 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является квадратомС пояснением
Пусть среднее из пяти чисел равно n. Сумма их квадратов равна
Кратко Пусть среднее число равно n. Тогда сумма квадратов равна \(5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2)\).Если она равна \(m^2\), то \(m\) делится на 5, а \(m^2\) делится на 25. Значит, \(n^2 + 2\) делится на 5. Но остаток квадрата \(n^2\) при делении на 5 равен 0, 1 или 4, поэтому \(n^2 + 2\) на 5 не делится. Получили противоречие.Ответ: сумма не может быть квадратом натурального числа.
\[(n - 2)^2 + (n - 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = 5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2).\]
Предположим, что эта сумма равна квадрату натурального числа \(m\). Тогда \(m^2\) делится на 5, поэтому и \(m\) делится на 5. Значит, \(m^2\) делится на 25, а число \(n^2 + 2\) должно делиться на 5.Но квадрат целого числа при делении на 5 может давать только остатки 0, 1 или 4. Поэтому \(n^2 + 2\) может давать остатки 2, 3 или 1, но не 0. Получили противоречие.Ответ: сумма не может быть квадратом натурального числа.Кратко Пусть среднее число равно n. Тогда сумма квадратов равна \(5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2)\).Если она равна \(m^2\), то \(m\) делится на 5, а \(m^2\) делится на 25. Значит, \(n^2 + 2\) делится на 5. Но остаток квадрата \(n^2\) при делении на 5 равен 0, 1 или 4, поэтому \(n^2 + 2\) на 5 не делится. Получили противоречие.Ответ: сумма не может быть квадратом натурального числа.
Квадрат чётного числа делится на 4, а квадрат нечётного числа при делении на 4 даёт остаток 1.Среди пяти последовательных натуральных чисел либо два нечётных числа, либо три. Поэтому сумма их квадратов при делении на 4 даёт соответственно остаток 2 или 3.Но квадрат любого натурального числа при делении на 4 может давать только остаток 0 или 1. Следовательно, сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Решение #4(Учебник 2019)
Решение #5(Учебник 2019)
Решение #6 (Учебник 2019)ИИ
Варианты решения:
Найти скорости автобуса и автомобиляС пояснением
Пусть x км/ч — скорость автобуса, y км/ч — скорость автомобиля.До первой встречи каждый был в пути 1 ч 30 мин, или 1,5 ч. Поэтому \(1{,}5x + 1{,}5y = 180\).При втором варианте автобус был бы в пути 2 ч 30 мин, или 2,5 ч, а автомобиль — 1 ч. Получаем \(2{,}5x + y = 180\).Составим и решим систему:
\(1{,}5x + 1{,}5y = 180\),
\(2{,}5x + y = 180\).Из первого уравнения \(x + y = 120\), откуда \(y = 120 - x\). Подставим во второе:
Кратко Пусть x км/ч — скорость автобуса, y км/ч — скорость автомобиля. До первой встречи каждый был в пути 1,5 ч; во втором случае автобус был бы в пути 2,5 ч, автомобиль — 1 ч.\(1{,}5x + 1{,}5y = 180\),
\(2{,}5x + y = 180\).Из первого уравнения \(y = 120 - x\). Подставим во второе:
\(1{,}5x + 1{,}5y = 180\),
\(2{,}5x + y = 180\).Из первого уравнения \(x + y = 120\), откуда \(y = 120 - x\). Подставим во второе:
\[2{,}5x + 120 - x = 180;\]
\[1{,}5x = 60;\]
\[x = 40.\]
Тогда \(y = 120 - 40 = 80\).Ответ: скорость автобуса — 40 км/ч, автомобиля — 80 км/ч.Кратко Пусть x км/ч — скорость автобуса, y км/ч — скорость автомобиля. До первой встречи каждый был в пути 1,5 ч; во втором случае автобус был бы в пути 2,5 ч, автомобиль — 1 ч.\(1{,}5x + 1{,}5y = 180\),
\(2{,}5x + y = 180\).Из первого уравнения \(y = 120 - x\). Подставим во второе:
\[2{,}5x + 120 - x = 180;\]
\[1{,}5x = 60;\]
\[x = 40,\quad y = 80.\]
Ответ: автобус — 40 км/ч, автомобиль — 80 км/ч.До первой встречи автобус и автомобиль ехали по 1,5 ч. Значит, сумма их скоростей равна:
\(180 : 1{,}5 = 120\) км/ч.Во втором случае автобус выехал в 5 ч 05 мин и ехал до 7 ч 35 мин, то есть 2,5 ч. Автомобиль выехал в 6 ч 35 мин и ехал 1 ч.По сравнению с первым случаем автобус ехал на 1 ч больше, а автомобиль — на 0,5 ч меньше. Расстояние между городами не изменилось, поэтому путь, пройденный автобусом за 1 ч, равен пути, пройденному автомобилем за 0,5 ч. Следовательно, скорость автомобиля в 2 раза больше скорости автобуса.Пусть скорость автобуса равна \(x\) км/ч, тогда скорость автомобиля равна \(2x\) км/ч. Сумма скоростей равна 120 км/ч:
\(2 \cdot 40 = 80\) км/ч.Ответ: скорость автобуса — 40 км/ч, легкового автомобиля — 80 км/ч.
\(180 : 1{,}5 = 120\) км/ч.Во втором случае автобус выехал в 5 ч 05 мин и ехал до 7 ч 35 мин, то есть 2,5 ч. Автомобиль выехал в 6 ч 35 мин и ехал 1 ч.По сравнению с первым случаем автобус ехал на 1 ч больше, а автомобиль — на 0,5 ч меньше. Расстояние между городами не изменилось, поэтому путь, пройденный автобусом за 1 ч, равен пути, пройденному автомобилем за 0,5 ч. Следовательно, скорость автомобиля в 2 раза больше скорости автобуса.Пусть скорость автобуса равна \(x\) км/ч, тогда скорость автомобиля равна \(2x\) км/ч. Сумма скоростей равна 120 км/ч:
\[x + 2x = 120;\]
\[3x = 120;\]
\[x = 40.\]
Скорость автомобиля:\(2 \cdot 40 = 80\) км/ч.Ответ: скорость автобуса — 40 км/ч, легкового автомобиля — 80 км/ч.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Задание учебника 2019 года
Из двух городов А и В, расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин вышли навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы автобус вышел на 1 ч 15 мин раньше, а легковой автомобиль на 15 мин позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?
Пусть скорость автобуса x км/ч, а скорость автомобиля y км/ч.
Так как они выехали одновременно, то каждый был в пути:
7 ч 50 мин-6 ч 20 мин=1 ч 30 мин.
Тогда, расстояние, пройденное автобусов и автомобилем до встречи равно 1,5•(x+y) км.
Известно, что это расстояние равно 180 км.
Поэтому, можно составить уравнение: 1,5•(x+y)=180.
Если бы автобус вышел на 1 час 15 минут раньше, то он выйдет в
6 ч 20 мин-1 ч 15 мин=5 ч 5 мин.
Если легковой автомобиль выйдет на 15 минут позже, то он выйдет в 6 ч 20 мин+15 мин=6 ч 35 мин.
Тогда, до встречи автобус пройдёт:
7 ч 35 мин-5 ч 5 мин=2 ч 30 мин.
Автомобиль до встречи пройдёт: 7 ч 35 мин-6 ч 35 мин=1 ч.
Так как расстояние равно 180 км, то можно составить уравнение: 2,5x+y=180.
Составим и решим систему уравнений.
