Упр.1226 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Докажите утверждение об остатке разности кубовС пояснением
Пусть n и n + 1 — последовательные натуральные числа. Тогда
Ответ: остаток равен 1.
Кратко Пусть числа равны n и n + 1. Тогда
Ответ: остаток равен 1.
\[(n + 1)^3 - n^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 3n(n + 1) + 1.\]
Одно из последовательных чисел n и n + 1 чётное, поэтому их произведение делится на 2. Значит, 3n(n + 1) делится на 6, а выражение 3n(n + 1) + 1 при делении на 6 даёт остаток 1.Ответ: остаток равен 1.
Кратко Пусть числа равны n и n + 1. Тогда
\[(n + 1)^3 - n^3 = 3n(n + 1) + 1.\]
Произведение n(n + 1) делится на 2, поэтому 3n(n + 1) делится на 6.Ответ: остаток равен 1.
Для любого натурального числа k разность
\[k^3-k=k(k-1)(k+1).\]
Это произведение трёх последовательных целых чисел. Среди них одно обязательно делится на 3, а хотя бы одно — на 2. Поэтому \(k^3-k\) делится на 6, то есть \(k^3=6m+k\) для некоторого целого m.Пусть два последовательных натуральных числа равны n и n + 1. Тогда\[n^3=6a+n,\]
\[(n+1)^3=6b+n+1\]
для некоторых целых a и b. Следовательно,\[(n+1)^3-n^3=6(b-a)+1.\]
Значит, разность кубов при делении на 6 даёт остаток 1.Решение #4(Учебник 2019)
Решение #5(Учебник 2019)
Решение #6 (Учебник 2019)ИИ
Варианты решения:
Сколько косцов было в артели?С пояснением
Пусть x — число косцов в артели. Примем за единицу работу одного косца за день и будем считать, что все косцы работают с одинаковой производительностью.
За первую половину дня артель скосила \(x/2\) таких единиц, а за вторую половину на большом лугу — \(x/4\). Значит, площадь большого луга составляет \(3x/4\), а малого — \(3x/8\).
На малом лугу половина артели за полдня выполнила работу \(x/4\), а оставшуюся часть за день скосил один косец. Составим уравнение:
\(3x/8\) = \(x/4\) + 1;
\(3x = 2x + 8\);
\(x = 8\).
Ответ: 8 косцов.
Кратко Пусть x — число косцов. За единицу примем работу одного косца за день. Большой луг составляет \(x/2\) + \(x/4\) = \(3x/4\), малый — \(3x/8\). На малом лугу половина артели за полдня выполнила работу \(x/4\), а один косец на следующий день — 1.
\(3x/8\) = \(x/4\) + 1;
\(3x = 2x + 8\);
\(x = 8\).
Ответ: 8 косцов.
За первую половину дня артель скосила \(x/2\) таких единиц, а за вторую половину на большом лугу — \(x/4\). Значит, площадь большого луга составляет \(3x/4\), а малого — \(3x/8\).
На малом лугу половина артели за полдня выполнила работу \(x/4\), а оставшуюся часть за день скосил один косец. Составим уравнение:
\(3x/8\) = \(x/4\) + 1;
\(3x = 2x + 8\);
\(x = 8\).
Ответ: 8 косцов.
Кратко Пусть x — число косцов. За единицу примем работу одного косца за день. Большой луг составляет \(x/2\) + \(x/4\) = \(3x/4\), малый — \(3x/8\). На малом лугу половина артели за полдня выполнила работу \(x/4\), а один косец на следующий день — 1.
\(3x/8\) = \(x/4\) + 1;
\(3x = 2x + 8\);
\(x = 8\).
Ответ: 8 косцов.
Примем за единицу работу всей артели за один день.За первую половину дня на большом лугу артель выполнила \(1/2\) этой работы, а за вторую половину дня половина артели выполнила ещё \(1/4\). Значит, площадь большого луга равна \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\) работы артели за день.Малый луг вдвое меньше, поэтому его площадь равна \(\dfrac{3}{4} : 2 = \dfrac{3}{8}\).За полдня половина артели скосила на малом лугу \(1/4\). Следовательно, осталось скосить \(\dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}\) работы всей артели за день.Этот участок один косец скосил за целый день. Значит, дневная работа одного косца составляет \(1/8\) дневной работы артели, поэтому в артели было 8 косцов.Ответ: 8 косцов.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.
Пусть два последовательных натуральных числа будут равны n и n+1.
Тогда, (n+1)^3-n^3=n^3+3n^2+3n+1-n^3=3n^2+3n+1=3•(n^2+n)+1.
Если n – чётное, то значение выражения n^2+n чётное.
Если n – нечётное, то значение выражения n^2+n тоже будет чётным, так как сумма двух нечётных чисел будет чётной.
Так как значение выражения n^2+n делится на 2, то значение выражения 3•(n^2+n) кратно 6.
Соответственно, (n+1)^3-n^3 при делении на 6 даёт остаток 1.
Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2019 года
Задача Л. Н. Толстого. Вышла в поле артель косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался участок, который был скошен на другой день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?
Пусть в артели было a косцов, каждый из которых скашивал за 1 день участок площадью b.
Тогда, за полдня косцы скосили участок 0,5ab большого луга.
После разделения осталось 0,5a косцов, которые за оставшуюся часть дня скосили участок 0,5•0,5a•b=0,25ab луга.
Значит, площадь большого луга равна 0,5ab+0,25ab=0,75ab.
За полдня 0,5a косцов скосили участок 0,5•0,5ab=0,25ab малого луга.
На следующий день один человек докосил малый луг и скосил участок луга b.
Тогда, площадь малого луга равна b+0,25ab.
Известно, что площадь большого луга в 2 раза больше малого.
Составим и решим уравнение.
