Упр.1202 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Докажите кратность числа 7, 11 и 13С пояснением
Обозначим первые три цифры числа через a, b и c. Тогда всё число имеет вид abcabc, а число, составленное из первых трёх цифр, равно 100a + 10b + c.Разложим шестизначное число по разрядам:
Кратко Пусть первые три цифры числа — a, b и c. Тогда число равно:
\[100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c =\]
\[= 1000(100a + 10b + c) + (100a + 10b + c) =\]
\[= 1001(100a + 10b + c).\]
Так как \(1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13\), данное число равно 7 · 11 · 13 · (100a + 10b + c). Значит, оно делится на каждое из чисел 7, 11 и 13.Ответ: число кратно 7, 11 и 13.Кратко Пусть первые три цифры числа — a, b и c. Тогда число равно:
\[1000(100a + 10b + c) + (100a + 10b + c) =\]
\[= 1001(100a + 10b + c) =\]
\[= 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot (100a + 10b + c).\]
Ответ: число кратно 7, 11 и 13.Решение #4(Учебник 2019)
Решение #5(Учебник 2019)
Решение #6 (Учебник 2019)ИИ
Варианты решения:
Найдите наименьшее число по условиямС пояснением
В разложении квадрата на простые множители показатели степеней чётные, а в разложении куба — кратны 3.Пусть искомое число содержит множители \(2^a\) и \(3^b\). После умножения на 2 показатель \(a + 1\) должен быть чётным, а после умножения на 3 показатель a должен делиться на 3. Наименьшее подходящее значение: \(a = 3\).Аналогично b должно быть чётным, а \(b + 1\) — делиться на 3. Наименьшее подходящее значение: \(b = 2\). Другие простые множители только увеличили бы число.Получаем 2³ · 3² = 72. Проверка: \(72 \cdot 2 = 144 = 12^2\); \(72 \cdot 3 = 216 = 6^3\).Ответ: 72.
Кратко В разложении искомого числа показатель степени двойки должен быть нечётным и кратным 3; наименьший такой показатель — 3. Показатель степени тройки должен быть чётным, а после увеличения на 1 — кратным 3; наименьший такой показатель — 2.\(2^3 \cdot 3^2 = 72\). Проверка: \(72 \cdot 2 = 12^2\), \(72 \cdot 3 = 6^3\).Ответ: 72.
Кратко В разложении искомого числа показатель степени двойки должен быть нечётным и кратным 3; наименьший такой показатель — 3. Показатель степени тройки должен быть чётным, а после увеличения на 1 — кратным 3; наименьший такой показатель — 2.\(2^3 \cdot 3^2 = 72\). Проверка: \(72 \cdot 2 = 12^2\), \(72 \cdot 3 = 6^3\).Ответ: 72.
Пусть \(2n=x^2\), где \(n\) — искомое натуральное число. Так как \(x^2\) чётно, \(x\) чётно. Обозначим \(x=2m\). Тогда
\[2n=4m^2,\]
поэтому \(n=2m^2\).По второму условию \(3n=y^3\). Подставим \(n=2m^2\):\[6m^2=y^3.\]
Число \(y^3\) делится на 2 и на 3, значит, \(y\) делится на 2 и на 3. Поэтому \(y=6k\) для некоторого натурального k. Тогда\[6m^2=(6k)^3=216k^3,\]
\[m^2=36k^3.\]
Следовательно, \(m^2\) делится на 4 и на 9, поэтому \(m\) делится на 2 и на 3, то есть на 6. Наименьшее возможное натуральное значение \(m\) равно 6. Оно действительно подходит при \(k=1\):\[6\cdot6^2=216=6^3.\]
Тогда\[n=2\cdot6^2=72.\]
Проверка:\[72\cdot2=144=12^2,\]
\[72\cdot3=216=6^3.\]
Ответ: 72.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвёртой, вторая — с пятой и третья — с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.
Пусть первая цифра будет a, вторая b, третья c.
Так как первая цифра совпадает с четвёртой, вторая – с пятой и третья – с шестой, то можно записать данное шестизначное число как (abcabc), где переменные b и c принимают значения от 0 до 9, а переменная a от 1 до 9.
Задание учебника 2019 года
Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 — кубом натурального числа.
1 способ
Пусть искомое наименьшее натуральное число будет x.
Тогда, 2x=a^2, где a – натуральное число.
Так как a^2 чётное число, а чётным может быть только квадрат чётного числа, то x кратно 2.
Путь 3x=b^3, где b натуральное число. Тогда, b^3 кратно 3.
Так как x кратно 2, то и b^3 кратно 2, т.е. 3x=(2•3•c)^3, где c – натуральное число.
Значит, 3x=(2•3•c)^3=2^3•3^3•c^3=8•27•c^3=216•c^3
x=72•c^3
Наименьшее натуральное x получим при c=1.
Значит, искомое число 72.
Ответ: искомое число 72.
2 способ
Если после умножения на 2 искомое число станет квадратом, значит в разложении на простые множители этого числа, количество двоек нечётно, а всех остальных равных членов произведения - чётное количество.
После умножения на 3 станет кубом. Значит, если к числу троек в разложении на простые множители в искомом числе прибавить ещё одно, то их количество должно делиться на 3. А все остальные равные члены произведения являются кубом какого-то числа. Поэтому, искомое число в разложении на простые множители должно содержать 2 и 3. Значит, минимальное количество двоек 3, а троек 2.
Искомое число: 2•2•2•3•3=8•9=72.
