Упр.1139 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
На сколько уменьшить 100, чтобы остатки при делении на 5 и 7 были равны 1, а частные отличались на 2?С пояснением
Обозначим через x частное при делении полученной разности на 5, а через y — частное при делении на 7. Тогда разность можно записать двумя способами: \(5x + 1\) и \(7y + 1\).Составим систему:
5x + 1 = 7y + 1,
x − y = 2.Из второго уравнения x = y + 2. Подставим в первое:
Кратко Пусть x и y — частные при делении разности на 5 и 7 соответственно. Составим систему:
5x + 1 = 7y + 1,
x − y = 2.
5x + 1 = 7y + 1,
x − y = 2.Из второго уравнения x = y + 2. Подставим в первое:
\[5(y + 2) = 7y,\]
\[10 = 2y,\]
\[y = 5,\quad x = 7.\]
Полученная разность равна \(5 \cdot 7 + 1 = 36\). Значит, число 100 надо уменьшить на \(100 - 36 = 64\).Проверка: \(36 = 5 \cdot 7 + 1\) и \(36 = 7 \cdot 5 + 1\). Оба остатка равны 1, а разность частных равна \(7 - 5 = 2\).Ответ: на 64.Кратко Пусть x и y — частные при делении разности на 5 и 7 соответственно. Составим систему:
5x + 1 = 7y + 1,
x − y = 2.
\[x = y + 2;\]
\[5(y + 2) = 7y;\]
\[y = 5,\quad x = 7.\]
Разность: \(5 \cdot 7 + 1 = 36\). Уменьшение: \(100 - 36 = 64\).Проверка: \(36 = 5 \cdot 7 + 1\) = 7 · 5 + 1; \(7 - 5 = 2\).Ответ: на 64.Обозначим через n полученную разность, а через k — натуральное число, для которого \(n-1=35k\). Такое обозначение удобно, потому что числа 5 и 7 взаимно просты, а n − 1 делится на каждое из них.Тогда
\[n=35k+1.\]
При делении n на 5 частное равно 7k, а при делении на 7 — 5k. По условию первое частное на 2 больше второго. Составим систему:\[\begin{cases}n=35k+1,\\7k-5k=2.\end{cases}\]
Из второго уравнения:\[2k=2,\]
\[k=1.\]
Тогда\[n=35\cdot 1+1=36.\]
Следовательно, число 100 надо уменьшить на\[100-36=64.\]
Проверка:\[36=5\cdot 7+1,\]
\[36=7\cdot 5+1.\]
Остатки равны 1, а первое частное больше второго на \(7-5=2\).Ответ: на 64.Решение #4(Учебник 2019)
Решение #5(Учебник 2019)
Решение #6 (Учебник 2019)ИИ
Докажите, что пара не является решениемС пояснением
Подставим x = 15 и y = 40 в уравнение:
15a + 40b = 81, или 5(3a + 8b) = 81.
При целых a и b число 3a + 8b целое, поэтому левая часть равенства делится на 5. Но 81 не делится на 5. Значит, равенство невозможно.
Ответ: пара (15; 40) не может быть решением уравнения.
Кратко При x = 15 и y = 40 получаем 5(3a + 8b) = 81. Левая часть делится на 5 при целых a и b, а правая не делится. Равенство невозможно.
Ответ: пара (15; 40) не может быть решением.
15a + 40b = 81, или 5(3a + 8b) = 81.
При целых a и b число 3a + 8b целое, поэтому левая часть равенства делится на 5. Но 81 не делится на 5. Значит, равенство невозможно.
Ответ: пара (15; 40) не может быть решением уравнения.
Кратко При x = 15 и y = 40 получаем 5(3a + 8b) = 81. Левая часть делится на 5 при целых a и b, а правая не делится. Равенство невозможно.
Ответ: пара (15; 40) не может быть решением.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
(Задача-исследование.) На сколько надо уменьшить число 100, чтобы при делении полученной разности как на 5, так и на 7 остаток был равен 1 и при этом первое частное было на 2 больше второго?
1) Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи.
2) Составьте систему уравнений и решите её.
3) Проверьте правильность полученного ответа.
Задание учебника 2019 года
Докажите, что если в уравнении ах + by = 81 коэффициенты а и b — целые числа, то пара чисел (15; 40) не может быть решением этого уравнения.
ax+by=81 , где a и b – целые числа.
1 способ
Если решением уравнения являются числа (15;40), тогда подставим их в исходное уравнение:
15a+40b=81
В левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель.
5(3a+8b)=81
Разделим обе части уравнения на 5:
3a+8b=16,2
Так как в правой части уравнения получился дробный результат, значит числа a и b должны быть не целыми.
А это противоречит условию задания.
Таким образом, пара чисел (15;40) не является решением заданного уравнения.
Что и требовалось доказать.
2 способ
Если решением уравнения являются числа (15;40), тогда подставим их в исходное уравнение:
15a+40b=81
Число 15a оканчивается на 5 или 0.
Число 40b оканчивается на 0.
Таким образом, сумма чисел должна оканчиваться на цифру 5 или 0.
Следовательно, пара чисел (15;40) не является решением исходного выражения.
Что и требовалось доказать.
