Упр.55.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите отсутствие корней уравненийС пояснением
а) Для существования логарифмов необходимо одновременно выполнить условия:
\(x^2 - 9 > 0\) и \(4 - x^2 > 0\).
Получаем \(x^2 > 9\) и \(x^2 < 4\). Эти условия несовместимы, поэтому область допустимых значений пуста.б) Для существования логарифмов необходимо одновременно выполнить условия:
\(x^2 - 3x > 0\) и \(2x - x^2 > 0\).
Из первого неравенства получаем \(x < 0\) или \(x > 3\); из второго — \(0 < x < 2\). Общих значений нет, поэтому область допустимых значений пуста.Ответ: оба уравнения не имеют корней.
Кратко а) ОДЗ: \(x^2 > 9\) и \(x^2 < 4\). Условия несовместимы.
б) ОДЗ: (\(x < 0\) или \(x > 3\)) и \(0 < x < 2\). Общих значений нет.Ответ: оба уравнения не имеют корней.
\(x^2 - 9 > 0\) и \(4 - x^2 > 0\).
Получаем \(x^2 > 9\) и \(x^2 < 4\). Эти условия несовместимы, поэтому область допустимых значений пуста.б) Для существования логарифмов необходимо одновременно выполнить условия:
\(x^2 - 3x > 0\) и \(2x - x^2 > 0\).
Из первого неравенства получаем \(x < 0\) или \(x > 3\); из второго — \(0 < x < 2\). Общих значений нет, поэтому область допустимых значений пуста.Ответ: оба уравнения не имеют корней.
Кратко а) ОДЗ: \(x^2 > 9\) и \(x^2 < 4\). Условия несовместимы.
б) ОДЗ: (\(x < 0\) или \(x > 3\)) и \(0 < x < 2\). Общих значений нет.Ответ: оба уравнения не имеют корней.
а) Предположим, что корень существует. Тогда оба логарифма определены, поэтому можно объединить их:\(\lg((x^2-9)(4-x^2))=1\).Следовательно,
\(D = 13^2 - 4 \cdot 46 = 169 - 184 = -15 < 0\).Действительных решений нет, значит, исходное уравнение корней не имеет.б) Предположим, что корень существует. Тогда аргументы логарифмов положительны и
\(2x - x^2 = x(2 - x) < 0\),
то есть второй логарифм также не определён.Следовательно, уравнение корней не имеет.Ответ: оба уравнения не имеют корней.
\[(x^2-9)(4-x^2)=10,\]
\[-x^4+13x^2-36=10,\]
\[x^4-13x^2+46=0.\]
Положим \(t=x^2\). Получим\[t^2-13t+46=0.\]
Дискриминант:\(D = 13^2 - 4 \cdot 46 = 169 - 184 = -15 < 0\).Действительных решений нет, значит, исходное уравнение корней не имеет.б) Предположим, что корень существует. Тогда аргументы логарифмов положительны и
\[\lg\left(\frac{x^2-3x}{2x-x^2}\right)=0{,}5.\]
Отсюда\[\frac{x^2-3x}{2x-x^2}=10^{0{,}5}=\sqrt{10},\]
\[x^2-3x=\sqrt{10}(2x-x^2),\]
\[x((1+\sqrt{10})x-(3+2\sqrt{10}))=0.\]
Поэтому\[x=0\]
или\[x=\frac{3+2\sqrt{10}}{1+\sqrt{10}}.\]
При x = 0 логарифмы не определены. Для второго значения\(\displaystyle \frac{3 + 2\sqrt{10}}{1 + \sqrt{10}} > 2\),так как \(3 + 2\sqrt{10} > 2 + 2\sqrt{10}\). Поэтому \(x > 2\) и\(2x - x^2 = x(2 - x) < 0\),
то есть второй логарифм также не определён.Следовательно, уравнение корней не имеет.Ответ: оба уравнения не имеют корней.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
a) lg (x^2 - 9) + lg (4 - x^2) = 1;
б) lg (x^2 - 3x) - lg(2x - x^2) = 0,5.
